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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

14. Aufgabe 1999

gestellt am 1. September 1999 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Kartenstapel

Aufgabe	Lösung

Aufgabe

Die Karten eines Stapels von 32 Spielkarten sollen parallel ihrer Längsseite so gegeneinander verschoben werden, dass dabei keine vom Stapel herunter fallen.

Um wie viele Kartenlängen lässt sich auf diese Weise die oberste Karte über eine Tischkante hinaus schieben, wenn man idealerweise annimmt, dass die Karten nicht biegbar sind?

Wie weit kommt man mit einem Rommé-Spiel (104 Karten),
wie weit mit beliebig vielen Karten?

              ____________ 1. Karte
        ____________       2. Karte
     ____________          3. Karte
    : : : : : :            4. ... 32. Karte
###############            Tisch

Bitte nicht die Begründung vergessen!

(eingesandt von Jörg Wiegels)

Lösung

Die oberste Karte fällt nicht von Stapel, wenn ihr Schwerpunkt über der darunter liegenden Karte liegt. Bei einer Kartenlänge von L ist dieser L/2 von der Vorderkante entfernt. Für den Überhang der ersten Karte kann also eine Strecke
a1 = L/2-e
gewählt werden, wobei ein Abstand e>0 für die Stabilität sorgt.

Die obersten beiden Karten fallen nicht von Stapel, wenn ihr gemeinsamer Schwerpunkt über der darunter liegenden Karte liegt. Dieser liegt in der Mitte der Schwerpunkte beider Karten, so dass der erreichbare Überhang beider Karten
a2 = ((a1+e)+(a1+L/2))/2-e = a1+L/4-e/2 = 3/2*(L/2-e)
ist.

Analog ergibt sich für den maximalen Überhang von n>1 Karten mit Hilfe des vorhergehenden Überhangs
an = ((an-1+e)*(n-1)+(an-1+L/2))/n-e = an-1+(L/2-e)/n.
Aufsummiert erhält man
an = (L/2-e)*∑(1/k; k=1..n),
was durch vollständige Induktion nachgewiesen werden kann.

Weil die harmonische Reihe divergiert, lässt sich theoretisch jeder vorgegebene Überhang erreichen. Weil sie aber sehr langsam divergiert, würden sich in der Praxis schnell sehr hohe Stapel ergeben.

Es ergeben sich also folgende Werte:

Umgekehrt kann man berechnen, wie viele Karten mindestens gebraucht würden, wenn ein vorgegebener Überhang erreicht werden soll. Bei Kartenabmessungen von 92mm * 59mm * 1/3mm ergäben sich folgende Maße:

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Copyright © 1999-2010 Jörg Wiegels, Düsseldorf,  Jörg Wiegels
veröffentlicht am 3. Februar 1999, zuletzt geändert am 9. November 2005