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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

1. Aufgabe 1999

gestellt am 18. Januar 1999 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Fix und Foxi

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Aufgabe

Mein Sohn ist leidenschaftlicher Sammler von alten Comic-Heften, die er mit gleichgesinnten Sammlern tauscht.
So klärte er mich neulich auf:
"Für 2 Asterix-Hefte bekomme ich 3 Tarzan-Hefte und 1 'Micky Maus'-Heft; gegen 25 'Fix und Foxi'-Hefte kann ich 3 Asterix, dazu noch 2 'Micky Maus'- und ein Tarzan-Heft eintauschen."
"Wie viele 'Fix und Foxi'- muss man denn für ein Tarzan, wie viele für ein 'Micky Maus'- und wie viele für ein Asterix-Heft hergeben?", wollte ich wissen.
Die Antwort meines Sohnes: "Das kannst Du Dir doch leicht ausrechnen!"

Wie viele der 'Fix und Foxi'-Hefte benötigt man für die entsprechenden Comic-Hefte?

(eingesandt von Jürgen Bosbach)

Ansatz

Die vorausgesetzten Aussagen über den Tauschwert verschiedener Heft lassen sich wie folgt notieren, wobei A den Wert eines Asterix-Heftes, F den eines 'Fix und Foxi'-Heftes, M den eines 'Micky Maus'-Heftes und T den Wert eines Tarzan-Heftes bezeichnen.

(1) 2A = 1M+3T
(2) 25F = 3A+2M+1T

Es handelt sich um ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem (mit 2 Gleichungen und 4 Unbekannten).
Die zusätzliche Voraussetzung, dass sich jedes der genannten Hefte allein gegen 'Fix und Foxi'-Hefte eintauschen lässt, steckt implizit in der Fragestellung und bedeutet:

(3) Es gibt positive ganze Zahlen a, m und t mit A = a*F, M = m*F und T = t*F.

Lösung

Ersetzt man A, M und T in (1) und (2) entsprechend (3) und teilt jeweils beide Gleichungsseiten durch F (vorausgesetzt verschieden von 0), erhält man:

(4) 0 = -2a+m+3t
(5) 25 = 3a+2m+t

Durch geeignetes Addieren von Vielfachen der Gleichungen (1) und (2) können einzelne Variablen (hier t und a) eliminiert werden:

(6) =3*(5)-1*(4) 75 = 11a+5m
(7) =2*(5)+3*(4) 50 = 7m+11t

Diese beiden Gleichungen ergeben nach a bzw. m aufgelöst
(8) a = (75-5m)/11 = 5*(15-m)/11
(9) m = (50-11t)/7

Weil a ganzzahlig ist, folgt aus (8), dass es ein Vielfaches von 5 ist. Wegen m ≥ 0 folgt aus (8), dass a ≤ 75/11 < 7 gilt. Wegen t ≥ 0 folgt aus (9), dass m ≤ 50/7 < 8, und dann aus (8), dass a > 35/11 > 3 gilt.
Insgesamt bleibt als einzige mögliche Lösung für a nur a = 5. Damit ergeben sich auch für die anderen Variablen ganzzahlige Lösungen, nämlich mit (6), dass m = 4 ist, und dann mit (7), dass t = 2 ist.

Antwort

Für ein Tarzan-Heft, ein 'Micky Maus'-Heft und ein Asterix-Heft benötigt man 2 bzw. 4 bzw. 5 'Fix und Foxi'-Hefte.