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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

10. Aufgabe 1999

gestellt am 24. Mai 1999 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Leitern

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Aufgabe

In einem Gang stehen 2 Leitern mit den Längen 3m bzw. 4m so an den Wänden, dass sie sich kreuzen. Der Fuß der jeweiligen Leiter steht direkt an der gegenüber liegenden Seitenwand, so dass jede Leiter von einer Wand zur anderen reicht. Interessant ist die Tatsache, dass der Kreuzpunkt genau 1m über dem Boden ist. Leitern
(Skizze nicht maßstabgerecht!)

Wie breit ist der Gang?

(eingesandt von Volker Pöschel)

Lösung

Es seien a = 4m und b = 3m die Längen der links bzw. rechts anlehnenden Leitern sowie y und z die Höhen der Berührpunkte der linken bzw. rechten Leiter über dem Boden. Die Höhe des Kreuzungspunkts über dem Boden sei h = 1m.
Nach Pythagoras ist dann
(1) a2 = x2+y2 und b2 = x2+z2
und insgesamt
(2) a2-b2 = y2-z2

Für die beiden Streckenabschnitte von x gilt dann nach dem 2. Strahlensatz
(3) x2/h = x/y und x1/h = x/z,
woraus durch Addition folgt
(4) x/h = (x2+x1)/h = x/y+x/z,
und durch x geteilt
(5) 1/h = 1/y+1/z.
Nach z aufgelöst ist das
(6) z = 1/(1/h-1/y) = hy/(y-h).

Durch Ersetzen von z in (2) ergibt sich
(7) a2-b2 = y2-(hy/(y-h))2.
Mit d = a2-b2 = 16m2-9m2 = 7m2 und in Normalform gebracht folgt
(8) y4-2*h*y3-d*y2+2*d*h*y-d*h2 = 0
und nach Einsetzen der Konstanten
(9) y4-2*y3m-7*y2m2+14*ym3-7m4 = 0.

Die einzige positive reelle Lösung dieser Gleichung ist y ≈ 3,0369m.
Damit ist x = √(a2-y2) ≈ 2,6033m.

Antwort

Der Gang ist ungefähr 2,6 Meter breit.