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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

14. Aufgabe 1999

gestellt am 1. September 1999 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Kartenstapel

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Die Karten eines Stapels von 32 Spielkarten sollen parallel ihrer Längsseite so gegeneinander verschoben werden, dass dabei keine vom Stapel herunter fallen.

Um wie viele Kartenlängen lässt sich auf diese Weise die oberste Karte über eine Tischkante hinaus schieben, wenn man idealerweise annimmt, dass die Karten nicht biegbar sind?

Wie weit kommt man mit einem Rommé-Spiel (104 Karten),
wie weit mit beliebig vielen Karten?

              ____________ 1. Karte
        ____________       2. Karte
     ____________          3. Karte
    : : : : : :            4. ... 32. Karte
###############            Tisch

Bitte nicht die Begründung vergessen!

(eingesandt von Jörg Wiegels)

Lösung

Die oberste Karte fällt nicht von Stapel, wenn ihr Schwerpunkt über der darunter liegenden Karte liegt. Bei einer Kartenlänge von L ist dieser L/2 von der Vorderkante entfernt. Für den Überhang der ersten Karte kann also eine Strecke
a1 = L/2-e
gewählt werden, wobei ein Abstand e>0 für die Stabilität sorgt.

Die obersten beiden Karten fallen nicht von Stapel, wenn ihr gemeinsamer Schwerpunkt über der darunter liegenden Karte liegt. Dieser liegt in der Mitte der Schwerpunkte beider Karten, so dass der erreichbare Überhang beider Karten
a2 = ((a1+e)+(a1+L/2))/2-e = a1+L/4-e/2 = 3/2*(L/2-e)
ist.

Analog ergibt sich für den maximalen Überhang von n>1 Karten mit Hilfe des vorhergehenden Überhangs
an = ((an-1+e)*(n-1)+(an-1+L/2))/n-e = an-1+(L/2-e)/n.
Aufsummiert erhält man
an = (L/2-e)*∑(1/k; k=1..n),
was durch vollständige Induktion nachgewiesen werden kann.

Weil die harmonische Reihe divergiert, lässt sich theoretisch jeder vorgegebene Überhang erreichen. Weil sie aber sehr langsam divergiert, würden sich in der Praxis schnell sehr hohe Stapel ergeben.

Es ergeben sich also folgende Werte:

Verfügbare
Karten
Maximaler Überhang
in Kartenlängen
322,03
1042,61
1102,64

Umgekehrt kann man berechnen, wie viele Karten mindestens gebraucht würden, wenn ein vorgegebener Überhang erreicht werden soll. Bei Kartenabmessungen von 92mm * 59mm * 1/3mm ergäben sich folgende Maße:

Überhang
in Kartenlängen
Benötigte
Karten
Erreichter
Überhang
Höhe
1496mm1,3mm
231185mm1,03cm
3227276mm7,57cm
41.674368mm55,8cm
512.367460mm4,12m
691.380552mm30,5m
7675.214644mm225m
84.989.191736mm1,66km
936.865.414828mm12,3km
10272.401.153920mm90,8km
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