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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

15. Aufgabe 1999

gestellt am 27. September 1999 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Zahlenbeweis

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Das Produkt von 4 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist um eins zu erhöhen und man erhält eine Quadratzahl.
Ist diese Aussage wahr?

Beweise oder widerlege die Aussage!

(eingesandt von Sebastian Streich)

Lösung

Die Aussage ist wahr.
Mit n als die kleinste der 4 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen lässt sich das um 1 erhöhte Produkt wie folgt umformen. Dabei ist zu erkennen, dass es sich um ein Quadrat einer natürlichen Zahl handelt.

n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1
= (n*(n+3))*((n+1)*(n+2))+1
= (n²+3n)*(n²+3n+2)+1
= ((n²+3n+1)-1)*((n²+3n+1)+1)+1
= (n²+3n+1)²-1²+1
= (n²+3n+1)²