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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

16. Aufgabe 1999

gestellt am 11. Oktober 1999 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Schlösser und Schlüssel

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Eine Bande von 9 Räubern versteckt ihre soeben geklaute Beute in einem Safe mit vielen Schlössern. Weil sie von der Polizei verfolgt werden ist es möglich, dass sie zur Aufteilung nicht alle anwesend sein können. Da sie sich gegenseitig nicht völlig vertrauen, dürfen sie den Safe aber nur dann aufbekommen, wenn mehr als die Hälfte der Räuber anwesend ist (egal welche Räuber - Es gibt aber keine Bevorzugung.).

Wieviele unterschiedliche Schlösser brauchen sie unbedingt und wieviele verschiedene Schlüssel bekommt jeder Räuber?

(eingesandt von Roland Spindler)

Lösung

Keine 4, aber jeweils beliebige 5 der 9 Räuber müssen Schlüssel zu insgesamt allen Schlössern besitzen.

Zu jedem Schloss gibt es mindestens 5 Schlüssel, sonst gäbe es ein Schloss mit höchstens 4 Schlüsseln, und diejenigen 5 Räuber, die diese Schlüssel nicht besäßen, könnten dieses Schloss nicht gemeinsam öffnen.

Gäbe es zu jedem Schloss mehr als 5 Schlüssel, also mindestens 6 Schlüssel, dann könnten schon jeweils 4 Räuber alle Schlösser öffnen, denn zu jedem Schloss würden jeweils höchstens 3 Räuber die passenden Schlüssel nicht besitzen.

Wenn es zu jedem Schloss genau 5 Schlüssel gibt und keine 4 Räuber alle Schlösser öffnen können dürfen, gibt es zu jeweils 5 Räubern ein Schloss, dessen Schlüssel nur diese Räuber besitzen.

Es werden (9 über 5) = 126 Schlösser gebraucht, weil es genau so viele Möglichkeiten gibt, 5 Räuber von 9 auszuwählen. Es gibt 5-mal so viele Schlüssel, die sich gleichmäßig auf alle 9 Räuber verteilen, so dass jeder von ihnen 126*5/9 = 70 verschiedene Schlüssel erhält.