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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

17. Aufgabe 1999

gestellt am 25. Oktober 1999 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Fibonaccis Problem

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Du findest eine Geldbörse, die 22 Geldstücke enthält.
Deren Betrag vergleichst du mit dem Vermögen x1, x2, x3 und x4 von 4 Personen. Dabei stellst Du fest, dass der Besitz von Person 1, addiert zu dem gefundenen Betrag, das Doppelte des Vermögens von Person 2 und Person 3 zusammen ergibt. Analog ergeben die 22 Geldstücke zusammen mit dem Besitz von Person 2 das Dreifache des gemeinsamen Besitzes der Personen 3 und 4, addiert zu dem Besitz von Person 3 das Vierfache des gemeinsamen Vermögens der Personen 1 und 4, sowie addiert zu dem Besitz von Person 4 erhältst du das Fünffache des Vermögens der Personen 1 und 2 zusammengenommen.

Zeige, dass diese Aufgabe (unabhängig von dem gefundenen Geldbetrag) nur eine Lösung hat, wenn eine der Personen Schulden hat.
Wie sind die Vermögensverhältnisse der 4 Personen?
(Rechenweg erwünscht!)

(eingesandt von StefanZagar)

Lösung

Es sei x der gesuchte Betrag des gefundenen Geldes. Dann lässt sich mit den Aussagen über den Besitz der insgesamt 5 Personen ein lineares Gleichungssystem aus vier Gleichungen mit fünf Unbekannten aufstellen:
(1) x+x1 = 2*(x2+x3)
(2) x+x2 = 3*(x3+x4)
(3) x+x3 = 4*(x4+x1)
(4) x+x4 = 5*(x1+x2)

Durch geeignetes Addieren und Subtrahieren der Gleichungen und anschließendes Auflösen nach einer Variablen ergeben sich einfache Ausdrücke für diese.

(1)-(2)-(3)+(4) ergibt
(5) x1-x2-x3+x4 = x1+7*x2-x3-7*x4 und
(6) x4 = x2.

(2)-(1) und Ersetzen von x4 ergibt
(7) x2-x1 = x2+x3 und
(8) x3 = -x1.

(3)-(1) und Ersetzen von x3 und x4 ergibt
(9) -2*x1 = 6*x1+2*x2 und
(10) x2 = -4*x1.

Aus (1) ergibt sich durch Ersetzen von x2 und x3
(11) x+x1 = -10*x1 und
(12) x1 = -x/11.

Aus der Gleichungskette (12), (10), (8) und (6) folgt, dass die Lösung bei gegebenem Betrag für x eindeutig ist:
(x1, x2, x3, x4) = (-1, 4, 1, 4)/11*x,
wobei wegen des positiven Betrags von x nur x1 negativ ist, das heißt die Person 1 Schulden hat.

Bei 22 gefundenen Geldstücken ergeben sich folgende Vermögensverhältnisse:
(x1, x2, x3, x4) = (-2, 8, 2, 8).