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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

19. Aufgabe 1999

gestellt am 22. November 1999 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Das Echo aus dem Brunnen

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Du wirfst einen Stein in einen Brunnen und und misst die Zeit bis du ihn aufschlagen hörst, deine Stoppuhr bleibt bei 3,7 Sekunden stehen.

Wie tief ist der Brunnen? (natürlich mit Berechnung)
Hinweis: die Aufgabe genau durchlesen! (Die physikalischen Konstanten sind Tafelwerken zu entnehmen.)

(eingesandt von Eric Schommer)

Lösung

Gegeben sind die Zeit t = 3,7s, die Erdbeschleunigung g = 9,81m/s² und die Schallgeschwindigkeit v = 331,6m/s (bei 0°C), gesucht ist die Tiefe des Brunnens h.

Die Zeit t setzt sich zusammen aus einer Zeit x, die der Stein bis zum Aufschlagen braucht, und einer Zeit y, die der Schall für den Weg zurück braucht.
(1) t = x+y
Der Stein und der Schall legen während dieser Zeiten x bzw. y die selbe Strecke zurück.
(2) h = ½gx² = vy
Setzt man u = v/g (≈ 33,8s) (, was der Zeit entspricht, nach der ein Stein bei idealen Bedingungen so schnell ist wie der Schall), folgt aus (1) und (2) eine quadratische Gleichung in y
(3) (t-y)² = x² = 2h/g = 2vy/g = 2uy
mit Normalform
(4) y²-2(t+u)y+t² = 0
Die einzige Lösung für y aus [0,t] ist
(5) y = t+u-√(2tu+u²) ≈ 0,183s
womit sich für die Tiefe des Brunnens ergibt
(6) h = vy ≈ 60,67m

Der Brunnen ist 60,67 Meter tief.