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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

2. Aufgabe 1999

gestellt am 1. Februar 1999 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Ein ovales Beet

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Aufgabe

Meine Nachbarin, Frau Oldenburg, möchte im Frühling in ihrem Garten ein ovales (ellipsenförmiges) Blumenbeet anlegen. Sie hat dafür eine 5 Meter lange und 3 Meter breite rechteckige Fläche zur Verfügung. Die Ellipse soll diese Fläche genau ausfüllen, d.h., einen großen Durchmesser von 5 Metern und einen kleinen Durchmesser von 3 Metern haben.
Frau Oldenburg bekam von einem Gärtner den Rat, dass man die Ellipse mit Hilfe einer Schnurschlinge und zwei Pflöcken konstruieren kann. Nun hat sie folgendes Problem:

Wie muss sie die Schnur mit den beiden Pflöcken benutzen, damit ihr Beet genau innerhalb der rechteckigen Fläche angelegt werden kann und an welcher Stelle des Beetes müssen die beiden Pflöcke eingesetzt werden?
Für jede Lösung (mit Begründung) wird sie sehr dankbar sein. (Und bitte meine Nachbarin nicht mit Spitzfindigkeiten wie Knotengröße oder Stockdurchmesser verwirren. ;-))

Lösung

Die Schnurschlinge und die beiden Pflöcke lassen sich als sogenannter Ellipsenzirkel verwenden. Wenn die beiden Pflöcke in den Boden eingesetzt werden und eine Schlinge darum gelegt wird, kann man mit einem Stock die beiden Pflöcke so umrunden, dass der Stock die Schnur ständig gespannt hält und dabei eine Spur in den Boden zeichnet.
Die Lage, Größe und Form der dabei entstehenden Ellipse hängt von der Position der beiden Pflöcke, den sogenannten Brennpunkten, und der Länge der Schnur ab.

Ellipsen sind spiegelsymmetrisch an ihren beiden orthogonalen Achsen, genauso wie Rechtecke. Weil die Fläche das Rechteck optimal ausgenutzt werden soll und wegen der Symmetrie, fallen die Achsen der Ellipse mit denen des Rechtecks zusammen und die Brennpunkte liegen auf der langen Achse mit dem selben Abstand (Brennweite) vom gemeinsamen Mittelpunkt.

Es seien a = 5m und b = 3m die Länge bzw. Breite des Rechtecks und e der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt. Es reicht, die Größe dieser Brennweite e aus der Rechteckform zu bestimmen, weil sie die Position der Brennpunkte festlegt.
Wenn der Stock die lange Achse überquert und dabei eine der kurzen Rechteckseiten berührt, ist die Schnur zwischen diesem Berührpunkt und dem entfernter liegenden Brennpunkt gespannt, und für die Schnurlänge s ergibt sich die Gleichung
(1) s = 2*(a/2+e) = a+2*e.
Wenn der Stock die kurze Achse überquert und dabei eine der langen Rechteckseiten berührt, nimmt die Schur die Form eines gleichschenkligen Dreiecks an, mit Ecken beim Berührpunkt und den beiden Brennpunkten. Bezeichnet man die Länge der Schenkel mit c, ergibt sich für den Umfang des Dreiecks
(2) s = 2*(e+c).
Durch Gleichsetzen mit (1) folgt daraus
(3) c = a/2.
Jede der symmetrischen Hälften des gleichschenkligen Dreiecks ist rechtwinklig und nach dem Satz des Pythagoras gilt für ihre Seitenlängen
(4) (b/2)²+e² = c².
Durch Ersetzen von c wegen (3) und Auflösen nach e ergibt sich
(5) e = √((a/2)²-(b/2)²).

Nach Einsetzen der Rechteckmaße in (5) und anschließend in (1) erhält man für die Brennweite
e = √((5m/2)²-(3m/2)²) = √(16m²/4) = 2m
und für die Schnurlänge
s = a+2*e = 5m+2*2m = 9m.

Antwort

Frau Oldenburg muss die Pflöcke auf der langen Mittelachse des Rechtecks einander gegenüber im Abstand von 2 Metern von der Mitte (0,5 Meter vom Rand) einsetzen und eine 9 Meter lange Schnurschlinge verwenden, damit sie die gewünschte Ellipse markieren kann.