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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

20. Aufgabe 1999

gestellt am 6. Dezember 1999 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Paul und Simon

  Aufgabe, Bemerkung   Lösung, Antwort   Ausblick, Verweise 

Aufgabe, Bemerkung

Paul und Simon sollen zwei natürliche Zahlen, die nicht 1 sind (und auch kleiner als 100), heraus finden. Paul wird nur das Produkt und Simon nur die Summe genannt. Diese Tatsache ist beiden bekannt.
Folgendes länger dauernde Gespräch findet zwischen ihnen statt:

(1) Paul sagt zu Simon: "Ich kenne die Zahlen nicht.".
(2) Simon sagt zu Paul: "Ich weiß, dass du sie nicht kennst.".
(3) Paul sagt zu Simon: "Aber jetzt kenne ich sie.".
(4) Simon sagt zu Paul: "Jetzt kenne ich sie auch.".

Wie heißen die beiden gesuchten Zahlen?

Bemerkung

Für die Lösung der Knobelaufgabe ist die Aussage (1) nicht wichtig, weil ihre Bedeutung in der Aussage (2) enthalten ist. Es würde aber verwundern, wenn Paul seine Aussage weg ließe, weil sie einfacher und schneller fest zu stellen ist als Simons Aussage. Mit dieser ist eigentlich gemeint: "Ich hätte auch heraus gefunden, dass du sie nicht kennst, wenn du es mir nicht gesagt hättest.".

(eingesandt von Jörg Wiegels)

Lösung, Antwort

Gesucht sind zwei (nicht notwendig verschiedene) natürliche Zahlen m > 1 und n > 1, über die Paul weiß, wie groß das Produkt p = m*n ist, und Simon weiß, wie groß die Summe s = m+n ist.

(1) Weil Paul die Zahlen m und n nicht bestimmen kann, lässt sich das Produkt p nicht eindeutig in zwei Faktoren > 1 zerlegen, d.h. p besteht aus mindestens drei Primfaktoren. Aus dem selben Grund kann es sich bei dem Produkt auch nicht um die dritte Potenz einer Primzahl handeln.
Mögliche Produkte sind also: 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, ...

(2) Simon weiß, dass Paul die Faktorenzerlegung nicht eindeutig ermitteln kann, womit er ausschließen kann, dass s die Summe zweier Primzahlen ist. Seine Zahl s hat damit weder die Form p+2, wobei p eine ungerade Primzahl ist, noch ist sie gerade, weil nach der als sicher geltenden Goldbachschen Vermutung jede gerade Zahl > 2 als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist.
Mögliche Summen sind also: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, ...

(3) Paul ist jetzt in der Lage, zu den möglichen Summen alle Produkte aus Zahlenpaaren zu bilden, die jeweils diese Summe besitzen. Wenn er aus dieser Kenntnis auf die Lösung schließen kann, heißt das, dass sich seine Zahl p nicht auf mehrfache Weise als Produkt von Summanden der möglichen Summen darstellen lässt.

In der folgenden Tabelle sind einige der Summen und Produkte aufgeführt, wobei Produkte, die (im sichtbaren Teil) mehrfach auftauchen, durchgestrichen sind. Die letzte Tabellenspalte nennt für jede Summe die Anzahl der eindeutigen (nicht zu streichenden) Produkte und die der Summenzerlegungen insgesamt.

a23456789...
Summe sProdukte aus Summanden von s: a*(s-a) 
1118242830




3/4
1730425260667072

1/7
2342607690102112120126...2/10
27507292110126140152162...5/12
295478100120138154168180...3/13
356696124150174196216234...4/16
3770102132160186210232252...3/17
4178114148180210238264288...5/19
:::::::::`.:

Jetzt noch mögliche Produkte, also solche, die genau einmal in der Tabelle vorkommen, sind: 18, 24, 28, 50, 52, 54, 76, 92, 96, 98, ...

(4) Simon behauptet, nachdem er den selben Gedankengang wie Paul vollzogen hat, die Lösung jetzt zu kennen. Das heißt, dass er von seiner Zahl auch auf das Produkt schließen kann. Dies trifft nur für die Summe 17 zu, die sich auf genau eine Weise, nämlich durch 17 = 4+13, so zerlegen lässt, dass das Produkt der Summanden 52 = 4*13 eines der noch zulässigen ist.

Das folgende Programm, geschrieben in Turbo-Pascal, findet diese Zahlen auch:

program Knobeln;
uses Crt;
const
    A = 2;
    E = 100;
var
    M, N: Integer;
    P: array[A*A..E*E] of Integer;
    S: array[A+A..E+E] of Integer;
begin
ClrScr;
for M:= A*A to E*E do P[M]:= 0;
for N:= A+A to E+E do S[N]:= 0;
for M:= A to E do for N:= M to E*E div M do Inc(P[M*N]);
for M:= A to E do for N:= M to (E+E) div 2 do Inc(S[M+N]);
for M:= A to E do for N:= M to E do if P[M*N]=1 then S[M+N]:= -1;
for M:= A to E do for N:= M to E*E div M do P[M*N]:= 0;
for M:= A to E do for N:= M to E do if S[M+N]>0 then Inc(P[M*N]);
for M:= A to E do for N:= M to E do if S[M+N]>1 then S[M+N]:= 0;
for M:= A to E do for N:= M to E do if (S[M+N]>=0) and (P[M*N]=1) then Inc(S[M+N]);
for M:= A to E do for N:= M to E do if (S[M+N]=1) and (P[M*N]=1) then
    begin
    Writeln('Die beiden gesuchten Zahlen sind ', M, ' und ', N, '.');
    Writeln('Die Summe ist ', M+N, ', das Produkt ist ', M*N, '.')
    end;
Readln
end.

Antwort

Die beiden gesuchten Zahlen sind 4 und 13, Paul kannte 52 (= 4*13) und Simon kannte 17 (= 4+13).

Ausblick, Verweise

Es gibt auch eine eindeutige Lösung, wenn die gesuchten Zahlen nicht kleiner als 3 sein dürfen. Weil eine Lösungszahl in diesen beiden Fällen gemeinsam ist und für andere untere Schranken keine Lösungspaare existieren, könnte man die Aufgabenstellung auch verallgemeinern, indem man nur verrät, dass die gesuchten Zahlen mindestens so groß sind wie eine bestimmte Zahl, und am Ende fragt, wie eine der beiden heißt.

Verweise

Es gibt weitere Web-Seiten, auf denen dieses oder ähnliche Rätsel gestellt werden: