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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

3. Aufgabe 1999

gestellt am 15. Februar 1999 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Spinne und Fliege

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Aufgabe

An einem zylinderförmigen Altbierglas, das eine Höhe von 16 cm und einem Umfang von 24 cm hat, sitzt auf der Innenseite, genau 2 cm über dem Boden, eine Spinne. Auf der diametral gegenüber liegenden Seite hat sich 2 cm vom oberen Rand entfernt auf der Außenseite des Glases eine Fliege niedergelassen. Die Spinne will die Fliege fressen und sie deshalb auf dem kürzesten Weg erreichen.

Welchen Weg muss die Spinne nehmen? Wie lang ist er? (Die Wandstärke das Glases soll unberücksichtigt bleiben.)

Lösung

1. Fall: Die Spinne hat einen direkten Faden zur gegenüberliegenden Oberkante angelegt und benutzt diesen.
Der Weg setzt sich dann aus der direkten Strecke vom Ort der Spinne zur gegenüberliegenden Oberkante und dem Abstand der Fliege von der Glasoberkante (c = 2cm) zusammen. Die erstgenannte Strecke ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Kathetenlängen der Glasdurchmesser (a = Glasumfang/pi = 24cm/pi) und der Abstand der Spinne von der Glasoberkante (b = 16cm-2cm = 14cm) sind. Die kürzeste Weglänge beträgt also √(a²+b²) + c = √((24cm/pi)²+14cm²) + 2cm ≈ 17,95cm.

2. Fall: Die Spinne hat kein Netz gespannt und kann nur auf der Glasoberfläche entlang laufen.
Die erreichbare Umgebung der Spinne lässt sich so auf eine Ebene abbilden, dass Entfernungen dabei nicht verändert werden. Dazu kann man die zylindrische Innenseite an einer beliebigen Stelle vertikal aufschneiden und als Rechteck auf eine Ebene abrollen. Die erreichbare Außenfläche des Glases kann an der selben Stelle aufgeschnitten, abgerollt und so angefügt werden, dass die auf einer Geraden liegenden Bildpunkte der Punkte der Glasoberkante beider Projektionen jeweils zusammen fallen.
Die Bildpunkte der Orte, an denen die Spinne und die Fliege sitzen, liegen dann in den benachbarten Rechtecken. Der kürzeste Weg zwischen ihnen ist die verbindende Strecke, die sich als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks auffassen lässt, dessen Katheten parallel zu den Rechteckseiten liegen. Die Längen der Katheten sind der halbe Glasumfang (a = 24cm/2 = 12cm) sowie die Summe der Abstände beider Tiere von der Glasoberkante (b = (16cm-2cm)+2cm = 16cm). Nach dem Satz des Pythagoras beträgt die Länge der Hypotenuse dann s = √(a²+b²) = √((12cm)²+(16cm)²) = 20cm. (Nach dem Strahlensatz ist der Weg auf der Innenseite s*14cm/16cm = 17,5cm und auf der Außenseite s*2cm/16cm = 2,5cm lang.)
Der kürzeste Weg der Spinne zur Fliege lässt sich durch Rückprojektion der Hypotenuse auf das Glas ermitteln. Abhängig von der Schnittlinie, an der der Zylinder aufgetrennt wird, gibt es zwei verschiedene, aber spiegelsymmetrische und damit gleich lange Wege.

Antwort

1. Fall:
Um die Fliege auf dem kürzesten Weg mit Hilfe eines Netzes zu erreichen, muss die Spinne auf einem Faden zur gegenüber liegenden Oberkante und dann auf der Außenseite 2cm abwärts laufen.
Der Weg ist ungefähr 17,95cm lang.

2. Fall:
Um die Fliege auf dem kürzesten Weg ohne Netz zu erreichen, muss die Spinne an der Innenseite des Glases in einem aufsteigenden Winkel von arctan(4/3) (≈ 53,1°, ≈ 133% Steigung) loslaufen. Dabei ist es egal, ob sie sich in der Aufsicht mit oder gegen den Uhrzeigersinn bewegt. Wenn sie die Oberkante des Glases erreicht hat, muss sie auf der Außenseite des Glases in einem absteigenden Winkel der selben Größe weiter laufen, wobei sie die den gewählten Drehsinn beibehält.
Der Weg ist 20 cm lang.