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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

4. Aufgabe 1999

gestellt am 1. März 1999 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Rechnen mit römischen Zahlen

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Aufgabe

Auf einem alten Grabstein stand folgendes zu lesen.

Andreas Carolus von Grimmelshausen
Geboren    1. Oktober      + + + + + + + + + +
Gestorben 27. November     + + + + + + + + +
Im Alter von 51 Jahren
Desgleichen seine Ehefrau, Gesa Gundula,
die ihn nur um 6 Monate überlebte.
Geboren    2. Mai          + + + + + + + + +
Gestorben 27. Mai          + + + + + + +
Im Alter von 36 Jahren
R.I.P.

Leider waren nun alle römischen Zahlzeichen vom Zahn der Zeit weggefressen. Das einzige, was noch erkennbar war, bleibt die Anzahl der Zeichen, die hier mit einem Kreuz gekennzeichnet wurden.

Wie lauten die Geburts- und Todesjahre?
(Zur Erinnerung und als Beispiel: MDCCXCIV = 1794)

(eingesandt von Jürgen Bosbach)

Lösung

Es seien Ab und As sowie Gb und Gs das Geburts- und Sterbejahr von Andreas Carolus von Grimmelshausen bzw. seiner Ehefrau Gesa Gundula. Weil beide Personen in ihren Sterbejahren ein Lebensjahr vollendet hatten, geben die erreichten Alterszahlen die Diffenrenzen zwischen Geburts- und Sterbejahren an.
(1) Ab+51 = As
(2) Gb+36 = Gs
Die Ehefrau ist ein Jahr später gestorben als ihr Mann.
(3) As+1 = Gs
Außerdem ist sie 16 Jahre später als er geboren, denn
(4) Gb = Gs-36 = As+1-36 = Ab+51+1-36 = Ab+16

Es sei a die Funktion, die zu einer natürlichen Zahl die Anzahl von Ziffern in der Darstellung als römische Zahl angibt. Dann ist folgendes bekannt:
(5) a(Ab) = 10
(6) a(As) = 9
(7) a(Gb) = 9
(8) a(Gs) = 7

Aus den Gleichungen
(9) a(Gb-16) = a(Ab) = a(Gb)+1
(10) a(Gb+36) = a(Gs) = a(Gb)-2
folgt, dass die beiden dezimalen Endziffern von Gb 93 sind (ohne Begründung). Gb und folglich Gs haben also die Darstellungen ....XCIII (..93) und ...XXIX (..29) als römische Zahl.

Für die Darstellung von Vielfachen von 100 werden bei Gb die vier ersten Stellen verwendet und bei Gs, welches im darauf folgenden Jahrhundert liegt, eine Stelle weniger. Hierfür gibt es die Möglichkeiten MCCC, MMCD und MMCM, welche 13.., 24.. bzw. 29.. im Dezimalsystem entsprechen. Nur bei der ersten dieser drei Zahlen liegen die zugehörigen Jahreszahlen in der Vergangenheit.

Antwort

Andreas Carolus von Grimmelshausen hat von 1377 bis 1428 gelebt, seine Ehefrau Gesa Gundula von 1393 bis 1429.