Vorherige Aufgabe   Übersicht 1999   Nächste Aufgabe 

Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

5. Aufgabe 1999

gestellt am 15. März 1999 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Zahlentrick

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Du sagst zu deinem Zuhörer:

"Denk dir eine dreistellige Zahl;
und dann drehe die Zahl um!"
(die letzte Stelle ist die erste ...):
(z.B. 123 --> 321)

"Bilde die Differenz!"
(kleinere von der größeren Zahl subtrahieren):
(z.B. 321 - 123 = 198)

"Vertausche nun wieder die Reihenfolge der Ziffern!"
(die letzte Stelle ist die erste ...):
(z.B. 198 --> 891)

"Bilde die Summe!"

Du fragst:
"Das Ergebnis ist doch nicht Null?"

Die Antwort ist fast immer "nein".

Nun nennst Du das Ergebnis:
"1089"

Das Ergebnis dieser Rechnung muss immer entweder 0 oder 1089 sein!
Beweise die Richtigkeit!

(eingesandt von Susan.Kremer)

Lösung

Eine Zahl a aus drei Dezimalziffern hat eine eindeutige Darstellung als
(1) a = x*100 + y*10 + z
mit {x,y,z}⊂{0,...,9} und a > 0.

Die Zahl b, die entsteht, wenn die drei Dezimalziffern von a rückwärts notiert werden, ist
(2) b = z*100 + y*10 + x.

Der Betrag c der Differenz von a und b ist dann
(3) c = |a-b| = |(x*100 + y*10 + z)-(z*100 + y*10 + x)| = |(x-z)*100-(x-z)| = |x-z|*99.

Im Falle x = z ist diese Differenz 0 und das Endergebnis der Rechnung wird auch 0.

Im anderen Fall (x ≠ z) sei w:= |x-z|.
Die Zahl c besteht dann aus den drei Dezimalziffern w-1, 9 und 10-w, denn
(4) c = |x-z|*99 = w*99 = (w-1)*100 + 9*10 + (10-w) und {w-1,9,10-w}⊂{1,...,9}.

Die Zahl d, die entsteht, wenn die Dezimalziffern von c rückwärts notiert werden, ist
(5) d = (10-w)*100 + 9*10 + (w-1).

Die Summe e von c und d ist dann
(6) e = c+d = ((w-1)*100 + 9*10 + (10-w)) + ((10-w)*100 + 9*10 + (w-1)) = 1089.

In jedem Fall ist das Ergebnis der Rechnung entweder 0 oder 1089.