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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

9. Aufgabe 1999

gestellt am 10. Mai 1999 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Pumpstation

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Aufgabe

Ein Kessel wird durch zwei gleichzeitig arbeitende Pumpen in 6 Stunden gefüllt. Lässt man den Kessel zur Hälfte von der einen Pumpe allein und dann zur zweiten Hälfte von der anderen Pumpe allein füllen, so benötigt man 14 Stunden.

Wie lange braucht die stärkere der beiden Pumpen, um den Kessel alleine zu füllen?

(eingesandt von mac.andy)

Lösung

Es seien x und y die Zeiten in Stunden, die die beiden Pumpen jeweils brauchen, um allein den Kessel zu füllen. Die Pumpen schaffen also 1/x bzw. 1/y Kesselfüllungen pro Stunde.

Gemeinsam füllen beide Pumpen den Kessel in 6 Stunden. Die Leistungen addieren sich dabei.
(1) 6*(1/x+1/y) = 1

Der Kessel wird von der ersten Pumpe in x/2 Stunden halb gefüllt, von der zweiten Pumpe in y/2 Stunden. Diese beiden Zeiten zusammen sind bekannt.
(2) x/2+y/2 = 14

Die Gleichung (1) lässt sich umformen zu
(3) x*y = 6*(x+y)
und die Gleichung (2) nach y auflösen
(4) y = 28-x .
Nach Ersetzen von y in (3) erhält man
(5) x*(28-x) = 6*28
oder in Normalform
(6) x2-28*x+168 = 0 .

Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind
x1 = 14-2√7 ≈ 8,71 und
x2 = 14+2√7 ≈ 19,29 ,
wobei die kleinere Zeit x1 zu der leistungsfähigeren Pumpe gehört.

Antwort

Die stärkere der beiden Pumpen braucht 8,71 Stunden (8 Stunden und 42,5 Minuten), um den Kessel alleine zu füllen.