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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

10. Aufgabe 2000

gestellt am 29. Mai 2000 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Vermehrung

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Aufgabe

Eine Aufgabe vom indischen Mathematiker NARAYANA der im 14. Jahrhundert lebte:
Eine Kuh wirft jährlich im Sommer ein weibliches Kalb, eine Färse genannt. Im 2. Lebensjahr wird aus der Färse eine Kuh, und im darauf folgenden Sommer wirft jede (ehemalige) Färse auch wieder eine Färse.
Der Bauer zählt immer am Jahresende seine Kühe und Färsen. Am Jahresende 1326 beginnt er mit einer Kuh. Im Sommer des nächsten Jahres wirft sie eine Färse.
(a) Wie viele Kühe und Färsen werden es nach 5 Jahren - also 1331 - sein, wenn alle Tiere am Leben bleiben?
(b) Wie viele Kühe und Färsen werden es nach 10 Jahren sein, wenn alle Tiere am Leben bleiben?
(c) Wie viele Kühe und Färsen werden es nach 20 Jahren sein, wenn alle Tiere am Leben bleiben?

Hinweise
- Wenn der Bauer seine Rindviecher zählt, gibt es also Kühe, Färsen im 1. Lebensjahr und Färsen im 2. Lebensjahr.

Zur Bewertung wird ein nachvollziehbarer Lösungsweg gefordert - Es reicht nicht, nur die Ergebnisse anzugeben!

(eingesandt von Linda Rülicke)

Lösung

Die Anzahl der Kühe und Färsen nach jedem Jahr lässt sich mit folgenden Überlegungen schrittweise ermitteln.
Am Ende des Jahres 1326 gibt es eine Kuh.
Jede Kuh war am Ende des Vorjahres eine Kuh oder eine 1-jährige Färse.
Die Mutter jeder 0-jährigen Färse war am Ende des Vorjahres eine Kuh oder eine 1-jährige Färse.
Jede 1-jährige Färse war am Ende des Vorjahres eine 0-jährige Färse.

Für die ersten Jahre ergeben sich folgende Werte:

Ende des
Jahres
Kühe0-jährige
Färsen
1-jährige
Färsen
1326100
1327110
1328111
1329221
1330332
1331553
::::
1326+k:xkykzk

Allgemein gelten:
(1) (x0, y0, z0) = (1, 0, 0) und
(2) (xk+1, yk+1, zk+1) = (xk+zk, xk+zk, yk) für k>=0

Es sei (Fk)k≥0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, ...) die Folge der Fibonacci-Zahlen.
Nach den schon ermittelten Werten kann man vermuten, dass für k>0 die Anzahlen der Kühe bzw. der 0- und 1-jährigen Färsen
(3) xk = Fk
    yk = Fk
    zk = Fk-1
betragen.

Dies lässt sich mit Hilfe des Prinzips der vollständigen Induktion nachweisen.
Induktionsverankerung für k=1:
(4) x1 = x0+z0 = 1+0 = 1 = F1
    y1 = x0+z0 = 1+0 = 1 = F1
    z1 = y0 = 0 = F0 = F1-1
Induktionsschritt von k nach k+1:
(5) xk+1 = xk+zk = Fk+Fk-1 = Fk+1
    yk+1 = xk+zk = Fk+Fk-1 = Fk+1
    zk+1 = yk = Fk = F(k+1)-1

k Jahre nach 1326 gibt es also xk = Fk Kühe und yk+zk = Fk+Fk-1 = Fk+1 Färsen.
Nach 5, 10 bzw. 20 Jahren sind das so viele Tiere:

Ende des
Jahres
KüheFärsen
133158
13365589
1346676510946

Antwort

Nach 5 Jahren wird der Bauer 5 Kühe und 8 Färsen, nach 10 Jahren 55 Kühe und 89 Färsen, und nach 20 Jahren 6765 Kühe und 10946 Färsen besitzen.