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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

11. Aufgabe 2000

gestellt am 14. Juni 2000 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Ferien bei Sonne und Regen

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Aufgabe

Der Animateur im Ferienclub hat ein Problem.
Bei schönem Wetter gibt es 225 Anfragen für 1/2 Stunde Schwimmunterricht und 5 Anfragen für 1 Stunde Bridgekurs.
Regnet es, gibt es nur 12 Interessenten für 1/2 Stunde Schwimmunterricht, aber 134 Interessenten für die Bridge-Stunde.
Das Budget pro Tag beträgt 1240 Franc für den gesamten Unterricht.
Nun fordert der Schwimmlehrer 100 Franc die Stunde und der Bridgelehrer 80 Franc die Stunde. (Schwimmunterricht wird in 5-er Gruppen erteilt und Bridge in 3-er Gruppen erteilt.)
Wie viele Stunden muss der Animateur bei jedem Ausbilder reservieren, damit die Anzahlen der Unzufriedenen, die nicht den gewünschten Kurs erhalten konnten, bei schönen sowie bei schlechtem Wetter gleich sind?

Zur Bewertung wird ein nachvollziehbarer Lösungsweg gefordert. - Es reicht nicht, nur die Ergebnisse anzugeben!

(eingesandt von Marie B.)

Lösung

Es seien x und y die Anzahlen der gesuchten Unterrichtseinheiten beim Schwimmkurs (½ Stunde) bzw. beim Bridge-Kurs (1 Stunde).

Die Anzahl der Unzufriedenen ist bei schönem und schlechtem Wetter gleich:
(1) max(225-5*x,0)+max(5-3*y,0) = max(12-5*x,0)+max(134-3*y,0)

Bei mindestens 3 Unterrichtseinheiten Schwimmkurs bzw. 2 Unterrichtseinheiten Bridge-Kurs werden die zweiten Summanden zu 0, so dass folgt:
(2) 225-5*x = 134-3*y
und damit
(3) x = (225-134+3*y)/5 ≥ 91/5 = 18,2

Andererseits darf das Budget von 1240 Franc nicht überrschritten werden:
(4) x*½*100F+y*80F ≤ 1240F
und damit
(5) x ≤ 2*(1240F-y*80F)/100F ≤ 2*1240F/100F = 24,8

x ist ganzzahlig und liegt wegen der Ungleichungen zwischen 19 und 24. Wenn diese Zahlen für x in (2) eingesetzt werden, zeigt sich, dass 20 die einzige von ihnen ist, für die auch y ganzzahlig wird, nämlich 3. Es ergeben sich also 20/2 = 10 und 3 Zeitstunden Schwimmunterricht bzw. Brigde-Kurs. Die Anzahl der Unzufriedenen ist bei jedem Wetter 225-5*20 = 134-3*3 = 125.

Antwort

Der Animateur muss 10 Stunden Schwimmunterricht und 3 Stunden Bridgekurs reservieren, damit die Anzahlen der Unzufriedenen, die nicht den gewünschten Kurs erhalten konnten, bei schönem sowie bei schlechtem Wetter gleich sind.