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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

13. Aufgabe 2000

gestellt am 1. August 2000 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Denksport

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Aufgaben

Aufgabe 1:

Ein Dreieck (Skizze) soll mit den Zahlen 0 bis 9 so befüllt werden, dass an den 3 Seitenkanten die Summe der 4 Zahlen gleich ist.

           *
         *   *
       *   *   *
     *   *   *   *
  

Welches ist die höchste und welches ist die niedrigste Summe, die damit erreichbar ist?

(eingesandt von Horst Reblitz)

Aufgabe 2:

Zu einer Zeit, als die Menschen weder Computer noch Taschenrechner hatten, also vor einer sehr langen Zeit ;-) konnte man schwierige Multiplikations- und Divisionsaufgaben noch mit Bleistift und Papier lösen. Als mir vor ein paar Tagen einige alte Aufgaben in die Hände fielen, waren die meisten Zahlen so verblasst, dass ich nur noch wenige Ziffern erkennen konnte. Sofort stellte sich mir die Frage, gibt es noch einen Weg, die Aufgaben eindeutig zu rekonstruieren?


     x x x x 0 x  :  x x  =  x x x x
     -----
       x x
     -----
         x x x
         x x 1
         -----
             x x
             2 x
             ---
               0

Es ist aber auch möglich, dass die Aufgabe von einem Nachbarplaneten stammt, deren Einwohner wesentlich weniger Finger als die dezimal ausgerichteten Menschen besitzen.

Gib unter dieser Bedingung eine Lösung an!

(eingesandt von Hannes)

Aufgabe 3:

Vervollständige die Zahlenreihe mit mindestens 3 weiteren Zahlen:
(Die Zahlen folgen einer inneren Logik.)

1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, ..., ..., ...,

(eingesandt von G.S.)

Aufgabe 4:

Ein gewöhnlicher Ziegelstein (quaderförmig ohne Löcher) soll eine Masse von 5,5 kg besitzen.

Welche Masse besitzt ein Spielzeugziegelstein aus dem gleichen Material, wenn Länge, Breite und Höhe jeweils nur 1/5 des Originals betragen?

(eingesandt von Sascha)

Aufgabe 5:

Die 6 Streichhölzer bilden 2 gleichseitige Dreiecke, wie es die Abbildung zeigt. Streichhoelzer
Es dürfen nur 3 Hölzer in eine andere Position gebracht werden.
(Streichhölzer also nicht zerstückeln, zerbrechen, knicken etc. - Die Streichhölzer bleiben ganz!)

Danach sollen die 6 Streichhölzer vier gleichseitige Dreiecke bilden, deren Kanten jeweils ein Streichholz lang sind.

(eingesandt von Hannes)

Aufgabe 6:

Die Zahl 32 soll als Summe von vier Zahlen dargestellt werden, die alle größer als Null sind.
Es soll dabei gelten: Wenn man zum ersten Summanden 3 addiert, vom zweiten Summanden 3 abzieht, den dritten Summanden mit 3 multipliziert und den vierten Summanden durch 3 teilt, so ergibt sich jedesmal dasselbe Ergebnis.

Wie lauten die vier Zahlen?

(eingesandt von Linda Rülicke)

Aufgabe 7:

Ein Plattenleger muss einen großen Platz mit dreieckigen (gleichseitige Dreiecke) und quadratischen Steinen pflastern. Auf einem Zettel hat er eine Skizze zum (regelmäßigen) Mosaikmuster aufgezeichnet bekommen. Fliesen
Außerdem kennt er die Gesamtfläche des Platzes und weiß, dass er dafür genau 1000 dreieckige Steine kaufen muss, die den Platz zusammen mit der entsprechenden Anzahl quadratischer Steine genau ausfüllen. (Natürlich muss ein Teil der Randsteine zerteilt werden, aber beide Teile werden verwendet.)

a) In welchem Verhältnis stehen die beiden Steinplattensorten zueinander?
und
b) Wie viele quadratische Steine muss er besorgen?

(eingesandt von Horst Reblitz)

Aufgabe 8:

Welche ganze Zahl ergibt, wenn sie durch 10 geteilt wird, den Rest 9, wenn sie durch 9 geteilt wird, den Rest 8, wenn sie durch 8 geteilt wird, den Rest 7 usw. bis schließlich, wenn sie durch 1 geteilt wird, der Rest natürlich 0 ist?

(eingesandt von Hannes)

Aufgabe 9:

Gleiche Buchstaben sind gleiche Ziffern (und die Umkehrung gilt auch: Verschiedene Buchstaben sind auch verschiedene Ziffern.).

         V A T E R
     + M U T T E R
-------------------
       E L T E R N

Wie viele Lösungen hat diese Aufgabe? Gib ALLE Lösungen an!

(eingesandt von Erich)

Aufgabe 10:

Der Student Peter Pfiffig merkt sich seine Schuhgröße auf eigenwillige Art: Er multipliziert seine (ganzzahlige) Schuhgröße mit 50, subtrahiert davon sein Alter und multipliziert das Ergebnis mit 27. Diese Zahl dividiert er durch 3 und subtrahiert hiervon das 360-fache seiner Schuhgröße. Hierzu addiert er noch das 10-fache der Summe aus seinem Alter und seiner Schuhgröße.

Als Endergebnis erhält er die Zahl 4321!

Wie alt ist Peter und welche Schuhgröße hat er?

(eingesandt von Erich)

Lösungen

Aufgabe 1:

Die höchste erreichbare Summe ist 23, die niedrigste 13:


           7                   2
         1   3               8   6
       6   0   5           3   9   4
     9   2   4   8       0   7   5   1

Aufgabe 2:

An den vorgegebenen Ziffern erkennt man, dass zwei Zahlen mit den Endziffern 0 und 1 die Differenz 2 haben. Dies ist im Dezimalsystem nicht möglich, nur im 3-adischen Zahlensystem. Hierfür gibt es auch eine eindeutige Ergänzung der fehlenden Ziffern:


     1 0 1 0 0 2  :  2 2  =  1 0 2 1
     -----
       2 2
     -----
         2 0 0
         1 2 1
         -----
             2 2
             2 2
             ---
               0

Aufgabe 3:

Bei der Zahlenreihe handelt es sich um die jeweils um 1 verringerten Primzahlen:
1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, ...

Aufgabe 4:

Ein Spielzeugziegelstein hat die Masse 5,5 kg/5³ = 44 g.

Aufgabe 5:

Werden die Streichhölzer eines der Dreiecke so gestellt, dass ihre Enden die Ecken des anderen Dreiecks berühren und ihre Spitzen zusammen treffen, dann bilden sie zusammen einen Tetraeder, dessen Seiten aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht.

Aufgabe 6:

Es gibt eine Zahl x, für die gilt:
(x-3)+(x+3)+(x/3)+(x*3) = 32   ⇔   x = 32/(16/3) = 6
Die vier Zahlen lauten (x-3=) 3, (x+3=) 9, (x/3=) 2 und (x*3=) 18.

Aufgabe 7:

a) Zu jeweils 8 dreieckigen gehören 3 quadratische Steinplatten.
b) Der Plattenleger muss 375 quadratische Steine besorgen.

Aufgabe 8:

Alle Vielfachen von 2520 (kgV der Zahlen von 1 bis 10), jeweils verringert um 1, besitzen die beschriebene Eigenschaft, also zum Beispiel -1 und 2519.

Aufgabe 9:

Die Aufgabe hat 8 Lösungen:


     8 9 6 2 5       4 9 6 2 5
 + 1 4 6 6 2 5   + 1 8 6 6 2 5
--------------- ---------------
   2 3 6 2 5 0     2 3 6 2 5 0
     7 9 6 2 4       5 9 6 2 4
 + 1 5 6 6 2 4   + 1 7 6 6 2 4
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   2 3 6 2 4 8     2 3 6 2 4 8
     9 0 3 7 4       2 0 3 7 4
 + 6 2 3 3 7 4   + 6 9 3 3 7 4
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   7 1 3 7 4 8     7 1 3 7 4 8
     6 0 2 4 9       5 0 2 4 9
 + 3 5 2 2 4 9   + 3 6 2 2 4 9
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   4 1 2 4 9 8     4 1 2 4 9 8

Aufgabe 10:

Es sei S Peters die Schuhgröße und A Peters Alter. Die Aussage bedeutet dann:
(S*50-A)*27/3-360*S+10*(A+S) = 4321   ⇔   100*S+A = 4321
Nimmt man an, dass Peter weniger als 121 Jahre alt ist, folgt daraus, dass er 21 Jahre alt ist und die Schuhgröße 43 hat.