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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

15. Aufgabe 2000

gestellt am 25. September 2000 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Olympische Ringe Olympiade mathematisch

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Aufgabe

olympische Ringe

Die vierzehn Schnittpunkte A', A" ... G', G" dieser fünf Ringe sind mit 14 verschiedenen natürlichen Zahlen so zu besetzen, dass die Summe auf jedem der fünf Ringe gleich ist.
Da dies auf viele Weisen möglich ist, soll die gemeinsame Summe auf den Ringen möglichst klein sein (kleiner als 60).
(Die Bezeichnung X', X" ist absichtlich gewählt und soll als kleine Hilfe bei der Lösung dienen.)

(eingesandt von Rolf Herrmann)

Lösung

Es seien a', a" usw. die Zahlen auf den Schnittpunkten A', A" usw., außerdem a = a'+a" usw.

Dann gilt wegen der Gleichheit der Summen

    (1)     (2)       (3)     (4)
 d+f = b+c+f = a+b+d+e = a+c+g = e+g 

Daraus folgen
(5) d = b+c aus (1),
(6) e = a+c aus (4),
(7) f = 2a+b+c aus (1), (2) und (4) sowie
(8) g = a+2b+c aus (1), (3) und (4).
Damit reicht es, möglichst kleine a, b und c zu finden, um die Summe auf den Kreisen zu minimieren, und gleichzeitig darauf zu achten, dass die 14 Zahlen verschieden sind.

Nähme man die kleinsten natürlichen Zahlen 1 bis 6 für a', a", b', b", c' und c", dann wäre
(9) d+e = a+b+2c ≤ 1+2+3+4+2*(5+6) = 32,
aber schon die nächst kleineren natürlichen Zahlen 7 bis 10 für d', d", e' und e" ergäben eine Summe von
(10) d+e ≥ 7+8+9+10 = 34,
was sich widerspricht.
Schon die Ersetzung von 6 durch 7 ermöglicht eine Lösung, bei der die Summe auf den Ringen 44 beträgt:

a'a" b'b" c'c" d'd" e'e" f'f" g'g"
12 34 57 811 69 1015 1217

Antwort

Die kleinstmögliche Summe auf den Ringen ist 44.