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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

18. Aufgabe 2000

gestellt am 6. November 2000 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Schweigemönche

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Aufgabe

Dieses Rätsel ist vielleicht ein wenig makaber, aber dafür um so interessanter zu lösen.

In einem Kloster wohnt eine Anzahl Schweigemönche. Diese Mönche schweigen allerdings nicht nur, sondern sie kommunizieren ÜBERHAUPT nicht miteinander, also auch nicht durch Zeichensprache oder sonstige Gesten.
In einer Nacht haben alle diese Mönche den gleichen Traum: Ihnen wird prophezeiht, dass einige Mönche an einer tödlichen Krankheit erkrankt sind. Alle so erkrankten Mönche haben nach dieser Nacht einen schwarzen Punkt auf der Stirn. Weiterhin bekommen alle Mönche durch den Traum den Befehl herauszufinden, ob sie selber erkrankt sind, und sich dann selber in der nächstmöglichen Nacht umzubringen, falls sie erkrankt sind.
Und als wenn das noch nicht genug wäre, gibt es auch nirgendwo im Kloster einen Spiegel oder einen sonstigen Gegenstand, auf dem die Mönche feststellen könnten, ob sie selber einen Punkt auf der Stirn haben oder nicht.
In der fünften Nacht nach der Prophezeihung sind alle erkrankten Mönche tot.
Wie viele Mönche waren krank?

Ergänzung für solche die es genau wissen wollen:

(Nachvollziehbaren Lösungsweg unbedingt mit angeben!)

(eingesandt von chatcat und Greebo)

Lösung

Die Mönche haben nur die Möglichkeit zu erkennen, ob Andere einen schwarzen Punkt auf der Stirn haben, und müssen daraus ihre Schlüsse ziehen.
Indem man die Situationen für kleine Anzahlen von erkrankten Mönchen durchspielt, kommt man zu der Vermutung, dass im Falle von n Erkrankten sich diese alle in der n-ten Nacht nach dem Traum umbringen. Dies wird durch vollständige Induktion bewiesen.

Induktionsverankerung (n=1):
Ein einziger Mönch ist erkrankt. Dieser Erkrankte erkennt am ersten Tag, dass niemand sonst einen Punkt auf der Stirn hat. Weil es aber mindestens einen Erkrankten gibt, schließt er daraus, dass er selber betroffen ist, und bringt sich in der folgenden Nacht um.

Induktionsschluss (1...n => n+1):
Es sind n+1 Mönche erkrankt. Diese haben keinen Grund, sich in den ersten n Nächten umzubringen. Wenn alle Mönche am n+1-ten Tag nach dem Traum noch leben, dann wissen sie einerseits, dass mehr als n Mönche erkrankt sind, weil die Erkrankten sich sonst nach Induktionsvoraussetzung zu diesem Zeitpunkt schon umgebracht hätten. Andererseits sieht jeder Erkrankte nur n andere Mönche mit einem Punkt auf der Stirn, weiß daher, dass er selber auch betroffen ist, und bringt sich deshalb in der darauf folgenden Nacht um.

Antwort

Die Anzahl der erkrankten Mönche liegt zwischen 1 und 5.