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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

19. Aufgabe 2000

gestellt am 20. November 2000 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Die Reste des gordischen Knoten

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Aufgabe

Paul hält eine gerade Zahl von einzelnen Schnurstücken so in der geschlossenen Faust, dass die Enden oben und unten heraus hängen.
Paula darf nun oben zwei lose Enden verknoten, dann unten, dann wieder oben usw. bis alle Enden verknotet sind.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dadurch ein geschlossener Ring entsteht?

Löse das Problem für 4 bzw. 6 bzw. 8 Schnurstücke!

(Nachvollziehbaren Lösungsweg unbedingt mit angeben!)

(eingesandt von Heinz Mayr)

Lösung

Es wird angenommen, dass sich alle Schnurstücke senkrecht in der Faust befinden, also jeweils ein Ende oben und ein Ende unten heraus hängt, und dass Paula nicht erkennen kann, welche Schnurenden zur selben Schnur gehören.

Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Verknoten am Ende ein einziger maximaler Ring entsteht, ist die Reihenfolge, in der die einzelnen Knoten angefertigt werden, uninteressant.
Weil auch die Anordnung der Schnurstücke in der Faust auf das Ergebnis keinen Einfluss hat, kann man sich diese nebeneinander liegend vorstellen und annehmen, dass unten jeweils benachbarte Enden miteinander verknotet sind.

Damit bei 4 Schnüren ein großer Ring entsteht, darf das erste Ende nicht mit dem zweiten verbunden werden. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt 2/3 ≈ 0.667.
Damit bei 6 Schnüren ein großer Ring entsteht, darf das erste Ende nicht mit dem zweiten und das dritte nicht mit dem vierten verbunden werden. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt 4/5 * 2/3 = 8/15 ≈ 0,533.
Damit bei 8 Schnüren ein großer Ring entsteht, darf das erste Ende nicht mit dem zweiten, das dritte nicht mit dem vierten und das fünfte nicht mit dem sechsten verbunden werden. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt 6/7 * 4/5 * 2/3 = 48/105 ≈ 0,457.

Allgemein beträgt bei 2n Schnüren die Wahrscheinlichkeit für die Entstehung eines maximalen Rings
∏(1-1/(2k+1); k=1..n-1) = (2n*(n-1)!)²/(4*(2n-1)!).

Antwort

Die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass bei 4 bzw. 6 bzw. 8 Schnüren ein maximaler geschlossener Ring entsteht, beträgt 2/3 bzw. 8/15 bzw. 48/105.