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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

3. Aufgabe 2000

gestellt am 14. Februar 2000 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Aus der Insektenwelt

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Aufgabe

In einen rechteckigen Raum von 10m Länge, 4m Breite und 4m Höhe sitzen sich eine Spinne und eine Fliege gegenüber. Die Spinne sitzt auf einer quadratischen Seitenwand auf der Mittellinie in einem Abstand von 1/3m über dem Boden. Die Fliege sitzt auf der gegenüberliegenden quadratischen Seitenwand auf der Mittellinie im Abstand von 1/3m von der Decke.

Wie lang ist die kürzeste Strecke, die die Spinne zur Fliege kriechen muss, wenn sie weder fliegen noch springen kann.

(eingesandt von Horst Reblitz)

Lösung

Der kürzeste Weg, den die Spinne zur Fliege zurück legt, ergibt eine gerade Strecke, wenn man die Seiten des Raums so in eine Ebene auseinander faltet, dass die beteiligten Seiten von den überschrittenen Kanten zusammen gehalten werden. Wäre die Strecke nicht gerade, dann hätte man mit der geraden Verbindungsstrecke zwischen den selben Punkten einen kürzeren Weg gefunden, was der Minimalität widerspräche.

4m F
F'

10m D
e
c
k
e
S
e
i
t
e
B
o
d
e
n


4m

S S e i t e F"

4m 4m 4m 10m 4m

Wenn man umgekehrt versucht, die Oberfläche des Raums auseinander zu falten und dann nach Verbindungsstrecken von der Spinne zur Fliege sucht, findet man drei interessante Kandidaten für den kürzesten Weg: S -> F, S -> F' und S -> F". Die Längen dieser Strecken sind nach dem Satz von Pythagoras:

(1) S -> F: √((2m+4m+2m)²+(1/3m+10m+1/3m)²) = √((8m)²+(32/3m)²) = 8/3 * √((3m)²+(4m)²) = 8/3 * 5m = 40/3m ≈ 13,3m

(2) S -> F': 1/3m+10m+(4m-1/3m) = 14m

(3) S -> F": √((2m+10m+2m)²+(4m-1/3m*2)²) = √((14m)²+(10/3m)²) = 2/3 * √((21m)²+(5m)²) = 2/3 * √(466m) ≈ 14,4m

Es zeigt sich also, dass der kürzeste Weg zwischen der Spinne und der Fliege die Strecke von S nach F ist (1). Dieser führt beispielsweise ein Stück schräg nach unten, über eine Ecke des Bodens, die angrenzende Seite diagonal hoch, über eine Ecke der Decke und am Ende ein Stück schräg die gegenüberliegende Seite hinunter.

Antwort

Die kürzeste Strecke, die die Spinne zur Fliege kriechen muss, wenn sie weder fliegen noch springen kann, beträgt ungefähr 13,3 Meter.