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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

6. Aufgabe 2000

gestellt am 27. März 2000 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

007 braucht die Physik

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Aufgabe

In dem Film "Im Angesicht des Todes" springt James Bond auf dem Eiffelturm auf das Dach eines herabfahrenden Aufzugs.
Nehmen wir an, dass der Aufzug mit einer Geschwindigkeit von 7m/s abwärts fährt und außerdem folgende Bedingungen gelten:

Bedingung 1:  Die physikalischen Umgebungsvariablen werden auf die allgemein üblichen Laborbedingungen reduziert (luftleerer, erdnaher Raum => also: g = 9,81m/s2)
Bedingung 2:  Bond springt genau in dem Moment, in dem das Dach des Aufzuges mit ihm auf gleicher Höhe ist.
Bedingung 3:  Ein durchtrainierter Agent bewältigt gerade noch einen Sprung von einer 3m hohen Mauer ohne Blessuren.

Fragen:

Frage 1:  Wie lange dauert dann James' Sprung?
Frage 2:  Wie viele Höhenmeter hat er beim Rendezvous mit dem Aufzug zurückgelegt?
Frage 3:  Bleibt Bond unversehrt?
Frage 4:  Welche Reaktionszeit dürfte sich 007 höchstens erlauben, um unversehrt zu bleiben?

Zur Bewertung wird ein nachvollziehbarer Lösungsweg gefordert - Es reicht nicht, nur die Ergebnisse anzugeben!

(eingesandt von Herbert Nell)

Lösung

Die Geschwindigkeit des Aufzugs sei mit v0 = 7m/s und die Erdbeschleunigung mit g = 9,81m/s² bezeichnet.

Lösung 1
Bei einer Momentangeschwindigkeit von v(t) hat man nach einer Zeit t1 den Weg ∫(v(t)dt; t=0..t1) zurückgelegt.
Wenn t1 die Zeit ist, nach der Bond landet, hat er bei einer Momentangeschwindigkeit von gt einen Weg von ½*gt1² und der Aufzug bei einer gleich bleibenden Momentangeschwindigkeit von v0 den Weg von v0*t1 zurück gelegt.
Weil diese Strecken überein stimmen, kann durch Gleichsetzen und anschließendes Auflösen t1 ermittelt werden:
(1) ½*gt1² = v0*t1
(2) t1 = 2v0/g ≈ 1,427s

Lösung 2
Die dabei (von Bond und vom Aufzug) zurück gelegte Strecke beträgt
(3) s1 = v0*t1 (= ½*gt1²) ≈ 9.99m

Lösung 3
Zum Zeitpunkt der Landung hat Bond eine relative Geschwindigkeit zum Aufzug von
(4) v1 = gt1 - v0 = g*2v0/g-v0 = v0 = 7,00m/s,
während man bei einem Sprung aus s2 = 3m Höhe
(5) t2 = √(2s2/g) ≈ 0,782s
unterwegs ist und mit der Geschwindigkeit von
(6) v2 = gt2 = √(2gs2) ≈ 7,67m/s
landet, was bedeutet, dass diese kritische Landegeschwindigkeit nicht erreicht wird.

Lösung 4
Um im freien Fall die kritische Landegeschwindigkeit bezüglich des Aufzugs zu erreichen, müsste Bond
(7) t3 = (v0+v2)/g ≈ 1,496s
unterwegs sein, während er eine Strecke von
(8) s3 = ½*gt3² ≈ 10,97m
zurück legte.
In der selben Zeit führe der Aufzug eine Strecke von
(9) s4 = v0*t3 ≈ 10,47m,
hätte also zum Zeitpunkt des Absprungs einen Vorsprung von
(10) s5 = s3-s4 ≈ 0,503m,
für den Bond sich eine Reaktionszeit von
(11) t4 = s5/v0 (... = s2/v0-v0/2g) ≈ 0,0718s
lassen könnte.

Antwort

Antwort 1:  James' Sprung dauert etwa 1,43s.
Antwort 2:  Er hat beim Rendezvous mit dem Aufzug 9,99 Höhenmeter zurückgelegt.
Antwort 3:  Bond bleibt unversehrt.
Antwort 4:  007 dürfte sich höchstens 0,07s Reaktionszeit erlauben, um unversehrt zu bleiben.