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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

7. Aufgabe 2000

gestellt am 10. April 2000 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Der Zauber der Neun

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Aufgabe

Auf einem weit entfernten Planeten traf ich vor einigen Wochen einen ziemlich alten Mann. Sein Gehilfe hatte ihm auf einer Liste Zahlen (mindestens 8- oder 9-stellig) notiert und er überflog diese Zahlen und sagte immerzu ... 4 zuviel, 3 zuviel, 6 zuviel u.s.w.
Natürlich wurde ich neugierig und fragte, was er denn rechnete.
Er schaute mich nur kurz an und sagte mir dann, dass er überprüfe, ob sich diese Zahlen, die für verschiedene Dinge stehen, durch 9, die Anzahl der Ratsherren, aufteilen lassen bzw. wieviel jeweils übrig bleibt.
Das Problem an der Sache war, dass auf diesem Planeten, obwohl man im Dezimalsystem rechnet, alle höheren Rechenoperationen (auch Multiplikation und Division) nicht erlaubt sind.

Die Aufgabe ist also:
Eine beliebige Zahl soll durch 9 dividiert werden.
Gib einen möglichst einfachen Weg an, schon vor der Rechnung zu sagen, welcher Rest zu erwarten ist.
Es ist dazu aber nicht gestattet, irgendwelche Multiplikationen oder Divisionen auszuführen und die Berechnungen müssen sich ohne Hilfsmittel und "im Kopf" erledigen lassen.

Zur Bewertung wird ein nachvollziehbarer Lösungsweg/Beweis gefordert - Es reicht nicht, nur die Ergebnisse anzugeben!

(eingesandt von Roland Spindler)

Lösung

Die Aufgabe besteht darin, eine Methode zur Bestimmung des Neuenerrestes für natürliche Zahlen anzugeben.
Eine weithin bekanntes Verfahren ist die Bildung der Endquersumme, wobei das Ergebnis 9 durch 0 zu ersetzen ist. Dabei wird die Summe aller Dezimalziffern der Ausgangszahl berechnet. Das selbe wird jeweils mit dem Ergebnis wiederholt, so lange bis die Summe einstellig wird.

Ein ganz ähnliches Verfahren besteht darin, schrittweise den Neunerrest zu bestimmen, indem man die ersten beiden Ziffern addiert und von der Summe 9 subtrahiert, falls sie mindestens 9 ist, anschließend die dritte Ziffer addiert und wieder 9 von der Summe substrahiert, wenn diese mindestens so groß ist, und so weiter, bis alle Ziffen verwendet worden sind.

Zur Begründung kann man sich überlegen, dass die Ausgangszahl und das Ergebnis den selben Neunerrest haben:
Weil die Reihenfolge der Addition keinen Einfluss auf die Summe hat, erhält man das selbe Ergebnis auch, wenn man zum Beispiel die Ziffern von hinten nach vorne addiert.
Das Wegnehmen der jeweils letzten Ziffer bedeutet eine Subtraktion dieser Ziffer und anschließendes Teilen durch 10. Weil hierbei eigentlich das Neunfache des Ergebnisses subtrahiert wird, ändert sich der Neunerrest dabei nicht.
(a*10+b) mod 9 = ((a+b)+(9*a)) mod 9 = (a+b) mod 9 für a ≥ 1 und 0 ≤ b ≤ 9
Durch Wiederholen dieses Vorgangs wird die Ausgangszahl schrittweise abgebaut, behält aber zusammen mit der Ziffer, die aus den aufgesammelten Endziffern entsteht, den Neunerrest, so dass sich diese Eigenschaft am Ende von der Ausgangszahl auf die Ergebnisziffer übertragen hat.

Antwort

Der Neunerrest einer natürlichen Zahl kann durch Bilden der Endquersumme und evtl. Ersetzen von 9 durch 0 berechnet werden.

Ausblick

Auch der Quotient bei der Division durch 9 kann ohne Multiplikation und Division berechnet werden.
Das Dividieren durch 9 entspricht einer Multiplikation mit

1/9 = 0,111... = 0,1 + 0,01 + 0,001 + ....

Den neunten Teil einer natürlichen Zahl erhält man also, wenn man die Ausgangszahl schrittweise um eine Stelle nach rechts verschiebt (ohne Abschneiden am Komma) und diese Zahlen aufaddiert, das Ganze so oft, bis eine ausreichende Genauigkeit erreicht worden ist.

Beispiel:
1962 : 9 = 196,2 + 19,62 + 1,962 + 0,1962 + ... > 217,9782