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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

8. Aufgabe 2000

gestellt am 1. Mai 2000 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Gute Freunde ;-)

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Aufgabe

5 Freunde entdeckten am Ufer des Busento eine bis zum Rand mit Goldmünzen gefüllte Truhe.
Es war abends und sie beschlossen, die Aufteilung erst am nächsten Morgen vorzunehmen und legten sich schlafen.
Um 8 Uhr erwachte der Erste, warf 8 Münzen in den Busento, teilte die Münzen in 5 gleiche Teile (, was genau aufging), versteckte seinen Anteil und legte sich wieder schlafen.
Um 9 Uhr erwachte der Zweite, warf 9 Münzen in den Busento und handelte sonst wie der Erste. (Auch er versteckte seinen Anteil.)
Um 10, 11 und 12 Uhr handelten die restlichen Freunde analog.
Am Morgen teilten die Freunde die restlichen Münzen, was genau aufging.

Wie viele Münzen müssen die Freunde mindestens gefunden haben?

Zur Bewertung wird ein nachvollziehbarer Lösungsweg gefordert - Es reicht nicht, nur die Ergebnisse anzugeben!

(eingesandt von Reinhold Petschel)

Lösung

Es sei m die gesuchte Anzahl der Münzen, die am Anfang in der Truhe waren. Diese Anzahl hat sich in der Nacht wie folgt reduziert:

Nach 8 Uhr:m1 = (m-8)*4/5
Nach 9 Uhr:m2 = (m1-9)*4/5
Nach 10 Uhr:m3 = (m2-10)*4/5
Nach 11 Uhr:m4 = (m3-11)*4/5
Nach 12 Uhr:m5 = (m4-12)*4/5

Jeder der fünf Freunde erhält also n = m5/5 Münzen.

Umgekehrt lässt sich ausgehend von diesem Anteil zurück verfolgen, wie viele Münzen am Anfang in der Truhe waren. Durch Auflösen nach m und Ersetzen der Zwischenvariablen m1 bis m5 erhält man:
(1) m = ((((n*5*5/4+12)*5/4+11)*5/4+10)*5/4+9)*5/4+8
      = (n*15625+87712)/1024
      = n*15+85 + (n*265+672)/1024
      = n*15+85 + (n/32*265+21)/32

Weil m ganzzahlig ist, ist der Zähler (in Klammern) ein Vielfaches von 32, insbesondere eine ganze Zahl. Weil 32 und 265 zueinander teilerfremd sind, ist auch n ein Vielfaches von 32.
Die deshalb ganze Zahl n' = n/32, welche wie n monoton abhängig von m ist, erfüllt also
(2) n'*265+21 ≡ 0 (mod 32) und
(3) n'*9 ≡ 11 (mod 32)

Die kleinste natürliche Zahl n', für die diese Bedingung gilt, ist 19 und damit n = n'*32 = 608. Es zeigt sich, dass damit auch alle Zwischenergebnisse m1 bis m5 ganzzahlig werden. Für die Anzahl der Münzen, die am Anfang in der Truhe waren, ergibt sich also m = (608*15625+87712)/1024 = 9363.

Antwort

Die Freunde müssen mindestens 9363 Münzen gefunden haben.