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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

9. Aufgabe 2000

gestellt am 15. Mai 2000 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Das "aufgeblasene" Viereck

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Aufgabe

In ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 dm wird jeweils um die beiden gegenüber liegenden Eckpunkte ein Kreisbogen gezogen.
Die entstandene Schnittfigur lässt sich recht einfach berechnen (Abb. a).
Etwas schwieriger wird allerdings die Berechnung, wenn man die "Linse" um 90 Grad dreht und ebenfalls in die Figur einfügt (Abb. b).
(Konstruktion: In ein Quadrat mit der Seitenlänge 10 cm wird um jedem Eckpunkt ein Kreisbogen mit dem Radius 10 cm gezeichnet.)

Quadrat
Abb. a
Quadrat
Abb. b
Quadrat
Abb. c

Wie groß ist die dunkle, violette Fläche, die ein wenig an ein "aufgeblasenes Quadrat" erinnert (Abb. c)?

Zur Bewertung wird ein nachvollziehbarer Lösungsweg gefordert - Es reicht nicht, nur die Ergebnisse anzugeben!

(eingesandt von Herbert Nell)

Lösung

Aus Symmetriegründen setzt sich die Figur, deren Fläche F gesucht wird, aus vier gleichen Teilen zusammen, die jeweils in einem Viertel des Quadrats liegen.
Für die Berechnung ihrer Fläche ist es hilfreich, einige Hilfslinien einzuzeichnen und Schnittpunkte zu bezeichnen:

Quadrat

Dabei soll M der Mittelpunkt des Quadrats sein und E und G die Schnittpunkte des Kreisbogens um B mit den Symmetrieachsen des Quadrats sein. Die Kantenlänge des Quadrats sei a (= 10cm).

Man erkennt dann, dass die Fläche der Teilfigur durch Subtraktion von Sektor- und Dreiecksflächen ermittelt werden kann.
Es bezeichnen D(XYZ) die Fläche des Dreiecks mit den Ecken X, Y und Z, K(XYZ) die Fläche des Kreisektors mit Mittelpunkt Y zwischen den Bogenpunkten X und Z sowie S(XY) den Abstand zwischen X und Y.

Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ergibt sich für die Strecke EM:
(1) (S(EM)+a/2)² + (a/2)² = S(EB)² (= a²) und damit
(2) S(EM) = ¬(a²-(a/2)²) - a/2 = (¬(3/4)-½)*a

Für die gesamte Fläche erhält man dann:
(3) F = 4 * (K(ABC) - K(ABE) - K(GBC) - D(EBM) - D(MBG))
und wegen K(ABE) = K(GBC) und D(EBM) = D(MBG):
(4)   = 4 * (K(ABC) - 2*K(ABE) - 2*D(EBM))
(5)   = 4 * (π*a²/4 - 2*(π*a²*(arcsin(½)/2π)) - 2*(½*a/2*(¬(3/4)-½)*a))
(6)   = 4 * (π/4 - 2π*(π/6/2π) - (¬3-1)/4) * a²
(7)   = (π/3-¬3+1) * a²
(8)   = 0,31514... * a² (≈ a²/π)

Antwort

Die dunkle, violette Fläche ist ungefähr 31,5 cm² groß.