Vorherige Aufgabe 
Übersicht 2001 
Nächste Aufgabe | Vorherige Aufgabe | Übersicht 2001 | Nächste Aufgabe |
|---|
gestellt am 3. Dezember 2001 in der
Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns
Der naschhafte Nikolaus
Drei Doppelhebel in Bewegung
 Aufgabe | Lösung | Antwort |
|---|
Der naschhafte Nikolaus
Nachdem der Nikolaus alle braven Kinder mit Süßigkeiten bedacht hatte, machte er sich auf den weiten Weg zurück in den Himmel mit einer frohen Botschaft für seine fleißigen Engelchen im Gepäck:
"Freut Euch, es sind noch drei verschiedene Sorten im Sack übriggeblieben!" -
"Wie viele?" wollten die Engelchen sofort wissen.
Aber Nikolaus antwortete nur:
"Nun, sagen wir es mal so:
Wenn ich drei Pralinen aus dem Sack nehme, ist die Wahrscheinlichkeit von jeder Sorte eine zu ziehen genau 25%."
Bald darauf reute den Nikolaus seine "verräterische" Antwort, als ihn nämlich der Heißhunger überkam und er einige Pralinen aus dem Sack naschte.
Dumm gelaufen - könnte man meinen - aber, war es Glück oder gar göttliches Geschick?
Wie erstaunt war er, als er feststellte, dass sich auch nach seiner Naschaktion besagte Wahrscheinlichkeit nicht verändert hatte.
Von einer Sorte aß er nur halb soviel wie von den Nusspralinen.
Marzipanpralinen wurden am stärksten dezimiert.
Wie viele Eierlikörpralinen konnten sich die Engelchen teilen?
(eingesandt von Herbert Nell)
Drei Doppelhebel in Bewegung
Jemand hat drei Pflöcke, drei Hebel der Länge x und drei weitere Hebel der Länge y.
Alle haben an Ihren Enden Gelenke, durch die sie mit den Pflöcken bzw. untereinander verbunden werden können.
Die Pflöcke werden an drei Punkten, die paarweise den gleichen Abstand s haben, befestigt.
Die ersten drei Hebel werden mit den Pflöcken verbunden, die zweiten drei Hebel mit den Enden der ersten drei Hebel und die freien Enden der zweiten drei Hebel werden untereinander verbunden.
In dem so entstehenden Gelenkmechanismus ist der Verbindungspunkt D der Doppelhebel beweglich, soweit es die Hebellängen zulassen.
Alle Positionen, die D einnehmen kann, bilden bei geeigneten s, x und y eine Fläche.
Anmerkung von Johann Moll: Die Idee zu dieser Aufgabe entnahm ich Moderne Mathematik (Hrsg. Gerd Faltings), Akad. Verl. 1996 Die Mathematik dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten von W. P. Thurston und J. R. Weeks.
Der naschhafte Nikolaus
Es seien e1, m1 und n1 die Anzahlen der Eierlikör-, Marzipan- bzw. Nusspralinen im Sack vor der Naschaktion und e2, m2 und n2 die Anzahlen der selben Sorten nach der Naschaktion.
Dann soll folgende Bedingung erfüllt sein:
(1) 2*(e1-e2) = n1-n2 ≤ m1-m2
Setzt man gleiche Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen eines Gegenstandes voraus, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit,
beim dreimaligen Ziehen aus einer Menge mit a, b bzw. c Gegenständen dreier Sorten von jeder Sorte einen zu erhalten:
(2) |
|
|
|
/ |
|
= 6abc/(a+b+c)(a+b+c-1)(a+b+c-2) |
Beim Gleichsetzen dieser Wahrscheinlichkeit mit 1/4 (= 25%) erhält man für s = a+b+c:
(3) s(s-1)(s-2) = 24abc
Die linke Seite ist durch 24 teilbar genau dann, wenn
(4) s ≡ 0 (mod 2) oder s ≡ 1 (mod 8)
Versucht man der Reihe nach, solche Zahlen s in Summen aus drei natürlichen Zahlen zu zerlegen und zu prüfen, ob (3) erfüllt wird, erhält man als erste Lösungen
(5) (a,b,c) = (2,3,5) und (a,b,c) = (4,5,7) (bis auf Reihenfolge)
Hier gibt es genau eine Kombination von Differenzen, für die (1) gilt:
(6) 2*(4-3) = 7-5 ≤ 5-2
Es sind also
(7) (e1,m1,n1) = (4,5,7) und (e2,m2,n2) = (3,2,5)
Drei Doppelhebel in Bewegung
A, B und C bilden ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge s = 10.
Mit nur einem Doppelhebel, der z.B. am Pflock A befestigt ist, kann D jeden Punkt innerhalb eines Kreisringes um A mit Innenradius |x-y| und Außenradius x+y erreichen.
Mit allen drei Doppelhebeln an A, B und C kann D jeweils innerhalb der Zusammenhangskomponenten der Schnittmenge der kongruenten Kreisringe um die drei Pflöcke bewegt werden.
Wegen der Dreiecksanordnung gibt es aber nur eine einzige Zusammenhangskomponente.
Die Form ist die einer konvexen dreieckigen Linse mit möglicherweise rund abgeschnittenen Ecken oder die einer konkaven dreieckigen Linse.x+y nicht größer als die Höhe des Dreiecks h = √3/2*s ist.
Maximal ist der Flächeninhalt, wenn x+y gleich der Höhe und |x-y| z.B. gleich 0 ist.
Dies gilt, wenn(1) x = y = h/2 = √3/4*s = √3*5/2 ≈ 4,33
M der Höhenschnittpunkt des Dreiecks, sowie A', B' und C' die Schnittpunkte der Kreislinien mit Radius h um die Mittelpunkte B und C bzw. C und A bzw. A und B.φ = ∠MCA' lässt sich mit Hilfe des Cosinus-Satzes am Dreieck MCA' ermitteln:(2) φ = arccos(((2/3*h)2+h2-h'2)/(2*(2/3*h)*h)) = arccos(1/2+1/√6) ≈ 0,4317 mit(3) h' = MA' = (√(2/3)-1/3)*h = (1/√2-1/(2√3))*s ≈ 4,184F ist dann das Dreifache des Inhalts F' des Flächenstücks zwischen der Strecke MA', dem Kreisbogen um C zwischen A' und B', und der Strecke B'M.(4) F = 3*F' = 3*(F(CA'B')-F(MB'C)-F(MCA')) = 3*(φ*h2-2*(1/2*h'*s/2)) = (9φ-3√2+√3)*s2/4 ≈ 34,37
(5) x+y = h und(6) |x-y| ≤ AA' = MA-MA' = 2/3*h-h' = (1-√(2/3))*h = (2/√3-2√2/3)*s ≈ 2,119(x,y).
Der naschhafte Nikolaus
Die Engelchen konnten sich 3 Eierlikörpralinen teilen.
Drei Doppelhebel in Bewegung
x und y bei maximalem Flächeninhalt.
Jörg Wiegels