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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

10. Aufgabe 2001

gestellt am 28. Mai 2001 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Der Käfer und der Luftballon

  Aufgabe   Lösung   Antwort 

Aufgabe

Ein Super-Luftballon hat einen Umfang von 10 cm.
Ein kleiner Käfer sitzt auf dem Luftballon. "Einmal im Leben um den Luftballon, das wäre das Größte!"
Und so macht er sich auf den Weg; in der Sekunde schafft er einen Zentimeter.

Was der Käfer nicht wusste:
Der Luftballon wird noch aufgeblasen und sein Umfang wird in jeder Sekunde um 10 cm größer.

Schafft der Käfer die Umrundung trotzdem? (Natürlich mit Begründung)

Und für alle, die gern meine praktischen Aufgaben kritisieren ;-)

Weitere Fragen für den Fall, dass die Umrundung klappt:
Wie lange würde die Ballonumrundung dauern?
Welche Strecke müsste der Käfer dabei krabbeln?
Auf welcher räumlichen Bahn bewegt sich der Käfer, wie lang wäre diese bei einer vollen Umrundung?

(eingesandt von Rolf Herrmann)

Lösung

Es sei t die Anzahl der Sekunden, die der Käfer schon unterwegs ist. Bei gleichmäßiger Vergrößerung hat der Ballon zum Zeitpunkt ts einen Umfang von
(1) u(t) = (t+1)*10cm.

Die Winkelgeschwindigkeit (in Umrundungen pro Sekunde), mit der sich der Käfer zum Zeitpunkt t fortbewegt, beträgt
(2) v(t) = 1cm/u(t) = 1/(10*(t+1)).

Als zurückgelegter Winkel (in Umrundungen) bis zum Zeitpunkt ts ergibt sich dann das Integral
(3) w(t) = ∫(v(x)dx; x=0..t)
         = ∫(1/(10*(x+1))dx; x=0..t)
         = 1/10*∫((1/y)dy; y=1..t+1) mit x+1=y, dx=dy
         = 1/10*[ln(y)]1..t+1
         = ln(t+1)/10

Der Käfer erreicht eine volle Umrundung, wenn
(4) w(t1) = ln(t1+1)/10 = 1
  ⇔ t1 = e10-1 ≈ 22025

Antwort

Der Käfer schafft die Umrundung nach 22025 Sekunden (6 Stunden, 7 Minuten, 5 Sekunden) und krabbelt bis dahin auf einer spiralenförmigen Bahn eine Strecke von 220,25 Metern.
Der Umfang des Ballons ist dann u(t1) = 2202,6m und sein Durchmesser 701m.
(Für eine weitere Runde würde der Käfer mehr als 15 Jahre brauchen.)