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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

11. Aufgabe 2001

gestellt am 11. Juni 2001 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Geometrie mit Kreis im Winkel

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Aufgabe

Auf der 12 m langen Strecke wird im Punkt B ein Kreis errichtet.
Vom Punkt A geht eine Gerade aus, die mit der Strecke einen Winkel von 30 Grad einschließt und den Kreis tangiert. Der Berührungspunkt ist C. Der Abstand des Punktes C von der Strecke wird im Verhältnis 1 : 2 geteilt. Die Gerade die unter diesem Verhältnis parallel zu verläuft, schneidet den Kreis im Punkt D. In D wird die Tangente an den Kreis gelegt, die in F und in E schneidet.

Wie groß ist der Umfang des Dreiecks AEF?
(Lösungsweg bitte nicht vergessen!)

(eingesandt von Max Albert)

Lösung

Weil aus Symmetriegründen die Abstände eines Punktes außerhalb eines Kreises von den Berührungspunkten beider Tangenten durch diesen Punkt an den Kreis gleich sind, stimmen die Längen der Strecken EC und ED, FB und FD sowie AB und AC überein, sodass gilt:

Umfang(AFE) = |AF|+|EF|+|AE|
= (|AB|-|FB|)+(|FD|+|ED|)+(|AC|-|EC|)
= (|AB|+|AC|)+(|FD|-|FB|)+(|ED|-|EC|)
= 2*|AB|+0+0 = 2*12 m = 24 m

Antwort

Der Umfang des Dreiecks AEF beträgt 24 m.