Vorherige Aufgabe   Übersicht 2001   Nächste Aufgabe 

Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

14. Aufgabe 2001

gestellt am 3. September 2001 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Krabbelkäfer 2

  Aufgabe   Lösung   Antwort 

Aufgabe

Kasimir auf der Feder Am Boden ist eine Spiralfeder mit 20 Windungen befestigt. Sie hat einen Durchmesser von 10 cm und ist 30 cm hoch.
Am unteren Ende der Stange sitzt Krabbelkäfer Kasimir: In seinem Drang die Welt von oben zu betrachten macht er sich auf den mühsamen Weg nach oben (Geschwindigkeit 10 Zentimeter pro Minute), Windung um Windung.
Was Kasimir nicht weiß: Am oberen Ende der Feder sitzt ein böser Bube, der den Käfer ärgern will. Gaaanz langsam (1 cm pro Minute) zieht er die Feder nach oben.

Ob Kasimir das obere Ende je erreichen wird?
Und wenn ja, in welcher Höhe?

(Und für die Düpfles-Schisser: Narürlich hat der Junge genügend Ausdauer und lange Arme, notfalls steht daneben - rein zufällig - eine Leiter. Der Käfer hat eine ausreichende Kondition, auch wenn es länger dauert und steiler wird. Und die Feder ist super-elastisch.)

(eingesandt von Rolf Herrmann)

Lösung

Die Länge des Weges, den Kasimir zurücklegen muss, lässt sich leicht berechnen, wenn man erkennt, dass die abgewickelte Spirale die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit dem Umfang und der Höhe des Zylinders als Katheten ist:
(1) s = √((30cm)2+(20π*10cm)2) ≈ 629cm

Kasimir bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von
(2) v = 10cm/min

Für die Strecke braucht er also
(3) t = s/v ≈ 62,9min

Danach befindet er sich auf einer Höhe von
(4) h = 30cm + t*1cm/min ≈ 92,9cm

Antwort

Kasimir erreicht das obere Ende nach 62,9 Minuten in einer Höhe von 92,9 cm.