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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

15. Aufgabe 2001

gestellt am 24. September 2001 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Zwei Motorräder und eine Kreuzung

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Aufgabe

In einer großen Ebene verlaufen zwei schnurgerade Straßen, die sich im rechten Winkel kreuzen. Auf jeder Straße fährt ein Motorradfahrer auf die Kreuzung zu. Beide Motorräder fahren mit gleicher und konstanter Geschwindigkeit. Als sich beide Fahrer zum ersten Mal erblicken, sind sie noch 1000 bzw. 1200 m von der Kreuzung entfernt. Sie überqueren mit unverminderter Geschwindigkeit nacheinander die Kreuzung. Der die Kreuzung später erreichende Fahrer schaut den anderen vom ersten Sichtkontakt an unverwandt an bis er selbst die Kreuzung erreicht.

Denkt man sich während der gesamten Zeit von diesem Fahrer zu dem ersteren eine Linie gezogen, so überstreicht diese Linie eine Fläche, die es zu beschreiben und deren Inhalt es zu berechnen gilt.

(eingesandt von ?)

Lösung

Für die Berechnungen ist es günstig, ein kartesisches Koordinatensystem mit der Einheit Meter so zu legen, dass der die Kreuzung zuerst erreichende Fahrer sich entlang der x-Achse bewegt und der andere Fahrer sich entlang der y-Achse bewegt, beide aus dem negativen in den positiven Bereich.

Bis zum Zeitpunkt, wenn der erste Fahrer die Kreuzung erreicht, überstreicht die Verbindungsstrecke zwischen ihnen ein Dreieck, begrenzt von der Strecke [(-1000,0),(0,1200)] beim ersten Sichtkontakt und beiden Straßen.
(1) F1 = 1000*1200/2 = 600.000

Die anschließend überstrichene Fläche liegt im Nachbarquadranten und wird durch eine (schief liegende) quadratische Parabel und beide Straßen begrenzt.
Es sei s = 1200-1000 = 200.
Dann liegt ein Punkt (x,y) in dieser Fläche genau dann, wenn es Punkte (x',0) und (0,y') mit x'+y' = s gibt, auf dessen Verbindungslinie er liegt:
(2) (y'-y)*(x'-x) = x*y
Ersetzt man x' durch z, dann kann man wegen der Nebenbedingung auch y' ersetzen durch s-z:
(3) (s-z-y)*(z-x) = x*y, bezüglich z auf Normalform gebracht:
(4) z2+(y-x-s)*z+s*x = 0
Der Punkt (x,y) liegt in der Fläche, wenn diese Gleichung lösbar, also ihre Diskriminante positiv ist:
(5) D = ((s+x-y)/2)2-s*x ≥ 0, bezüglich y auf Normalform gebracht:
(6) y2-2*(s+x)*y+(s-x)2 ≥ 0
Wegen 0 ≤ y ≤ s ist dies gleichbedeutend mit:
(7) y ≤ f(x) = s+x-2√(s*x)
Die Größe der zweiten Fläche kann also durch Integration ermittelt werden:
(8) F2 = ∫(f(x)dx; x=0..s)
       = [s*x+1/2*x2-4/3*√s*x*√x]x=0..s
       = 1/6*s2 = 20.000/3

Die gesamte überstrichene Fläche ergibt sich durch Addition:
(9) F = F1+F2 = 600.000+20.000/3 ≈ 0,6067*106

Antwort

Die von der Sichtstrecke überstrichene Fläche beträgt ungefähr 0,6067 km2.