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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

16. Aufgabe 2001

gestellt am 8. Oktober 2001 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Kreisrunde Wiese

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Aufgabe

Ein Bauer in der Pfalz hat eine kreisrunde Wiese mit 100 m Durchmesser.

Er hat zwei Söhne, denen er die Wiese vererben will. Der eine Sohn hat ein Schaf, das er auf der Wiese grasen lassen will. Damit es genau die halbe Fläche der Wiese abgrast, muss er es mit einer Leine an einem Pflock befestigen, der auf dem Rand der Wiese steht.

Und nun die Frage an Euch:
Wie lang muss die Leine sein, damit das Schaf GENAU die halbe Fläche der kreisrunden Wiese abgrast? Wichtig: der Pflock, an dem das Tier angebunden ist, steht genau auf dem Rand der Wiese!

PS: Zur Bewertung wird ein nachvollziehbarer Lösungsweg gefordert - es reicht nicht, nur die Ergebnisse anzugeben!

(eingesandt von Harald Giessen)

Lösung

Es sei d = 100m der Durchmesser der Wiese und r die gesuchte Länge der Leine. Der Mittelpunkt der Wiese sei M, die Stelle auf dem Kreisrand, an der die Leine befestigt ist, sei A und die beiden Punkte auf dem Kreisrand, die von A den Abstand r haben, B und C. Außerdem sei α der Winkel bei CAB und β die Größe der gleich großen Winkel bei AMC und BMA.
Wegen des Innenwinkelsatzes und der Symmetrie der gleichschenkligen Dreiecke AMC und BMA gelten
(1) α+β = π und
(2) cos(α/2) = (r/2)/(d/2) = r/d
Die Fläche der Wiese ist:
(3) F1 = (d/2)2
Die für das Schaf erreichbare Fläche ist die Schnittmenge zweier Kreisflächen, die sich auch auffassen lässt als die Überlagerung zweier Kreissektoren, die eine Fläche in Form eines Drachenvierecks gemeinsam haben:
(4) F2 = α/(2*π)*π*r2 + 2*β/(2*π)*π*(d/2)2 - r*d/2*sin(α/2)
Aus F2 = F1-F2 folgt 2*F2 = F1 und:
(5) α*r2+2*β*(d/2)2-r*d*sin(α/2) = (d/2)2
Nach Ersetzung von β und r nach (1) und (2) ergibt sich:
(6) α*cos2(α/2)*d2+2*(π-α)*(d/2)2-cos(α/2)*sin(α/2)*d2 = π*(d/2)2
was nach Anwendung von Additionstheoremen so zusammengefasst werden kann:
(7) α*cos(α)-sin(α)+π/2 = 0
Eine nummerische Lösung von α für diese Gleichung findet man durch wenige Iterationen der folgenden Gleichung mit Anfangswert 1:
(8) α = arccos(sin(α)-π/2)/α
Man erhält
(9) α ≈ 1,9057 und damit
(10) r = cos(α/2)*d ≈ 57,936m

Antwort

Die Leine muss etwa 57,9 Meter lang sein, damit das Schaf genau die halbe Fläche der Wiese abgrasen kann.