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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

18. Aufgabe 2001

gestellt am 5. November 2001 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Kasimir auf der Stange

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Aufgabe

An einer senkrechten Wand steht senkrecht eine zwei Meter lange Stange. Am unteren Ende der Stange sitzt Krabbelkäfer Kasimir: Einmal die Welt von oben betrachten, denkt er, und macht sich auf den Weg nach oben (Geschwindigkeit: 1 Meter/Minute).
Was Kasimir nicht weiß: Im selben Moment beginnt das untere Ende der Stange senkrecht von der Wand weg zu gleiten (Geschwindigkeit: 1 Meter/Minute). Das obere Ende der Stange gleitet dabei die Wand herunter.
Kasimir stellt fest, dass er - immer noch an der Stange - ohne sein Zutun plötzlich wieder auf dem Boden landet. Aber: Er hat "die Welt" von oben gesehen!

  1. Aus welcher Höhe hat er denn nun "die Welt" gesehen?
  2. Wo befindet er sich am Ende seiner "Reise"?
  3. Zeichne / skizziere die Bahn von Kasimir.
    Ach ja, ... und was hat das alles mit der Blüte zu tun ?

(eingesandt von Roland Koppenberger)

Lösung

Es seien s = 2m die Länge der Stange und v = 1m/min die Geschwindigkeit, mit der Kasimir die Stange entlang klettert, welches zugleich die Geschwindigkeit ist, mit der die Stange weggleitet.
Dann erreicht Kasimir das Ende der Stange nach der Zeit T = s/v = 2min. In der selben Zeit hat sich der Anfang der Stange so weit von der Wand weg bewegt wie die Stange lang ist, so dass das Ende, an dem Kasimir sitzt, unten angekommen ist.

Durchläuft die Zeit t das Intervall [0,T], dann ist Kasimirs Abstand von der Wand
(1) x(t) = v*t*(s-v*t)/s (1. Strahlensatz)
und sein Abstand vom Boden
(2) y(t) = v*t*√(s2-(v*t)2)/s (Pythagoras, 1. Strahlensatz)

Substituiert man z = v*t/s, dann durchläuft z das Intervall [0,1] und es ergeben sich folgende einfachere Formeln:
(3) x(z) = s*z*(1-z) und
(4) y(z) = s*z*√(1-z2)

Die Funktion y ist stetig über [0,1] ohne negative Werte, differenzierbar über dem Inneren des Intervalls und hat Nullstellen bei 0 und 1. Daraus folgt, dass bei einem lokalen Extremum die Ableitung eine Nullstelle hat und dass die wegen des Zwischenwertsatzes existiert. Die einzige Nullstelle von
(5) y'(z) = s*(√(1-z2)-z2/√(1-z2)) ist
(6) z0 = 2-1/2

Weil es keine weiteren Nullstellen gibt, ist dies die Stelle des absoluten Maximums.
Kasimir erreicht also nach der Zeit
(7) t0 = s*z0/v = √2min ≈ 1min 25s die maximale Höhe von
(8) y(z0) = s/2 = 1m

Nachdem sich Kasimir am Anfang im 45°-Winkel nach oben von der Wand weg bewegt, nimmt er schon nach 1min die maximale Entfernung von der Wand ein, welche s/4 = 50cm beträgt.

Antwort

  1. Kasimir hat die Welt aus einem Meter Höhe gesehen.
  2. Am Ende seiner Reise befindet er sich unten an der Wand und am Ende der Stange. (Der Aufprall ist allerdings heftig, weil sich das Stangenende in der Endphase wie im freien Fall bewegt.)
  3. Die Bahn sieht genau so aus wie das Blatt vor Kasimirs Kopf in der Abbildung.