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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

19. Aufgabe 2001

gestellt am 19. November 2001 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Schubladenprinzip

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

  1. Wie immer man zehn Punkte in einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge 3 cm platziert, es gibt immer 2 Punkte, die nicht mehr als 1 cm voneinander entfernt sind.
  2. Es gibt eine Potenz von 3, die im Zehnersystem auf 0001 endet.
  3. Jede ungerade Zahl, die nicht auf 5 endet, hat ein Vielfaches, das im Zehnersystem nur aus Einsen besteht.

PS: Zur Bewertung müssen alle 3 Teilaufgaben bearbeitet und ausreichend begründet oder bewiesen werden.

(eingesandt von Reinhold Moebs)

Lösung

  1. Wenn man jede Seite eines beliebigen Dreiecks in drei gleich lange Abschnitte teilt und die Endpunkte der Abschnitte so durch Strecken miteinander verbindet, dass diese parallel zu den Dreiecksseiten sind, dann entsteht eine Zerlegung des Dreiecks in neun gleich große Dreiecke. Ist das Ausgangsdreieck gleichseitig mit der Seitenlänge 3 cm, dann sind die entstehenden Dreiecke auch gleichseitig mit der Seitenlänge 1 cm.
    Zu zehn beliebigen Punkten im Ausgangsdreieck gibt es nach dem Taubenschlagprinzip immer eines der neun Teildreiecke, in dem zwei der Punkte liegen. Diese beiden Punkte haben einen Abstand von höchstens 1 cm.

  2. Wegen
    (1) 81 = 16*5+1 = 24*5+1 gilt
    (2) 3500 = (34)125 ≡ 1125 = 1 (mod 24)
    Aus n ≡ 1 (mod m) folgt
    (3) nm = (n-1)*∑(nk; k=0..m-1)+1 ≡ (n-1)*∑(1; k=0..m-1)+1 = (n-1)*m+1 (mod m)
    und mit n = 34 und m = 53
    (4) 3500 = 34*53 = (34)53 ≡ (34-1)*53+1 (mod 53)
    Mit (1) ergibt sich
    (5) 3500 ≡ 1 (mod 54)
    und zusammen mit (2)
    (6) 3500 ≡ 1 (mod 104)
    Die Dreierpotenz 3500 besitzt also in der Dezimaldarstellung als letzte Ziffern 0001.

  3. Ungerade Zahlen n, die nicht auf 5 enden, sind teilerfremd zu 10. Die Folge der Reste der Zehnerpotenzen (100, 101, 102, ...) bei Teilen durch ein solches n beginnt mit 1, ist periodisch und hat Werte zwischen 1 und n-1. Es gibt also einen Exponenten k mit
    (1) 10k ≡ 1 (mod n)
    Weil auch 9*n teilerfremd zu 10 ist, gibt es aus dem selben Grund eine natürliche Zahl k mit
    (2) 10k-1 ≡ 0 (mod 9*n)
    Durch Kürzen von 9 folgt dann
    (3) (10k-1)/9 ≡ 0 (mod n)
    Dieses Vielfache von n besteht aus lauter Einsen.