Vorherige Aufgabe   Übersicht 2001   Nächste Aufgabe 

Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

20. Aufgabe 2001

gestellt am 3. Dezember 2001 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Der naschhafte Nikolaus
Drei Doppelhebel in Bewegung

  Aufgabe   Lösung   Antwort 

Aufgabe

Der naschhafte Nikolaus

Nachdem der Nikolaus alle braven Kinder mit Süßigkeiten bedacht hatte, machte er sich auf den weiten Weg zurück in den Himmel mit einer frohen Botschaft für seine fleißigen Engelchen im Gepäck: "Freut Euch, es sind noch drei verschiedene Sorten im Sack übriggeblieben!" -
"Wie viele?" wollten die Engelchen sofort wissen. Aber Nikolaus antwortete nur: "Nun, sagen wir es mal so: Wenn ich drei Pralinen aus dem Sack nehme, ist die Wahrscheinlichkeit von jeder Sorte eine zu ziehen genau 25%."
Bald darauf reute den Nikolaus seine "verräterische" Antwort, als ihn nämlich der Heißhunger überkam und er einige Pralinen aus dem Sack naschte.
Dumm gelaufen - könnte man meinen - aber, war es Glück oder gar göttliches Geschick? Wie erstaunt war er, als er feststellte, dass sich auch nach seiner Naschaktion besagte Wahrscheinlichkeit nicht verändert hatte.

Von einer Sorte aß er nur halb soviel wie von den Nusspralinen.
Marzipanpralinen wurden am stärksten dezimiert.

Wie viele Eierlikörpralinen konnten sich die Engelchen teilen?

(eingesandt von Herbert Nell)

Drei Doppelhebel in Bewegung

Jemand hat drei Pflöcke, drei Hebel der Länge x und drei weitere Hebel der Länge y.
Alle haben an Ihren Enden Gelenke, durch die sie mit den Pflöcken bzw. untereinander verbunden werden können. Die Pflöcke werden an drei Punkten, die paarweise den gleichen Abstand s haben, befestigt.
Die ersten drei Hebel werden mit den Pflöcken verbunden, die zweiten drei Hebel mit den Enden der ersten drei Hebel und die freien Enden der zweiten drei Hebel werden untereinander verbunden. In dem so entstehenden Gelenkmechanismus ist der Verbindungspunkt D der Doppelhebel beweglich, soweit es die Hebellängen zulassen.
Alle Positionen, die D einnehmen kann, bilden bei geeigneten s, x und y eine Fläche.

  1. Man beschreibe diese Fläche und gebe für s = 10 Werte für x und y an, für die gilt:
    (i) Jeder Punkt der Fläche ist auch Punkt des durch die drei Pflöcke bestimmten Dreiecks.
    (ii) Der Flächeninhalt ist maximal.
  2. Man berechne diesen Flächeninhalt.
  3. Man entscheide, ob die gefundene Lösung eindeutig ist.

Anmerkung von Johann Moll: Die Idee zu dieser Aufgabe entnahm ich Moderne Mathematik (Hrsg. Gerd Faltings), Akad. Verl. 1996 Die Mathematik dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten von W. P. Thurston und J. R. Weeks.

Lösung

Der naschhafte Nikolaus

Es seien e1, m1 und n1 die Anzahlen der Eierlikör-, Marzipan- bzw. Nusspralinen im Sack vor der Naschaktion und e2, m2 und n2 die Anzahlen der selben Sorten nach der Naschaktion. Dann soll folgende Bedingung erfüllt sein:
(1) 2*(e1-e2) = n1-n2 ≤ m1-m2

Setzt man gleiche Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen eines Gegenstandes voraus, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, beim dreimaligen Ziehen aus einer Menge mit a, b bzw. c Gegenständen dreier Sorten von jeder Sorte einen zu erhalten:

(2) 

a
1


b
1


c
1

/

a+b+c
3

 = 6abc/(a+b+c)(a+b+c-1)(a+b+c-2)

Beim Gleichsetzen dieser Wahrscheinlichkeit mit 1/4 (= 25%) erhält man für s = a+b+c:
(3) s(s-1)(s-2) = 24abc
Die linke Seite ist durch 24 teilbar genau dann, wenn
(4) s ≡ 0 (mod 2) oder s ≡ 1 (mod 8)
Versucht man der Reihe nach, solche Zahlen s in Summen aus drei natürlichen Zahlen zu zerlegen und zu prüfen, ob (3) erfüllt wird, erhält man als erste Lösungen
(5) (a,b,c) = (2,3,5) und (a,b,c) = (4,5,7) (bis auf Reihenfolge)
Hier gibt es genau eine Kombination von Differenzen, für die (1) gilt:
(6) 2*(4-3) = 7-5 ≤ 5-2
Es sind also
(7) (e1,m1,n1) = (4,5,7) und (e2,m2,n2) = (3,2,5)

Drei Doppelhebel in Bewegung

  1. Die Pflöcke A, B und C bilden ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge s = 10. Mit nur einem Doppelhebel, der z.B. am Pflock A befestigt ist, kann D jeden Punkt innerhalb eines Kreisringes um A mit Innenradius |x-y| und Außenradius x+y erreichen. Mit allen drei Doppelhebeln an A, B und C kann D jeweils innerhalb der Zusammenhangskomponenten der Schnittmenge der kongruenten Kreisringe um die drei Pflöcke bewegt werden. Wegen der Dreiecksanordnung gibt es aber nur eine einzige Zusammenhangskomponente. Die Form ist die einer konvexen dreieckigen Linse mit möglicherweise rund abgeschnittenen Ecken oder die einer konkaven dreieckigen Linse.
    Diese Fläche liegt vollständig innerhalb des Dreiecks, wenn x+y nicht größer als die Höhe des Dreiecks h = √3/2*s ist. Maximal ist der Flächeninhalt, wenn x+y gleich der Höhe und |x-y| z.B. gleich 0 ist. Dies gilt, wenn
    (1) x = y = h/2 = √3/4*s = √3*5/2 ≈ 4,33
  2. Es seien M der Höhenschnittpunkt des Dreiecks, sowie A', B' und C' die Schnittpunkte der Kreislinien mit Radius h um die Mittelpunkte B und C bzw. C und A bzw. A und B.
    Der Winkel φ = ∠MCA' lässt sich mit Hilfe des Cosinus-Satzes am Dreieck MCA' ermitteln:
    (2) φ = arccos(((2/3*h)2+h2-h'2)/(2*(2/3*h)*h)) = arccos(1/2+1/√6) ≈ 0,4317 mit
    (3) h' = MA' = (√(2/3)-1/3)*h = (1/√2-1/(2√3))*s ≈ 4,184
    Der gesuchte Flächeninhalt F ist dann das Dreifache des Inhalts F' des Flächenstücks zwischen der Strecke MA', dem Kreisbogen um C zwischen A' und B', und der Strecke B'M.
    (4) F = 3*F' = 3*(F(CA'B')-F(MB'C)-F(MCA')) = 3*(φ*h2-2*(1/2*h'*s/2)) = (9φ-3√2+√3)*s2/4 ≈ 34,37
  3. Der Flächeninhalt ist maximal, wenn folgende beiden Bedingungen gelten:
    (5) x+y = h und
    (6) |x-y| ≤ AA' = MA-MA' = 2/3*h-h' = (1-√(2/3))*h = (2/√3-2√2/3)*s ≈ 2,119
    Es gibt also keine eindeutigen Lösungspaare für (x,y).

Antwort

Der naschhafte Nikolaus

Die Engelchen konnten sich 3 Eierlikörpralinen teilen.

Drei Doppelhebel in Bewegung

  1. S. Lösung
  2. Der maximale Flächeninhalt beträgt ungefähr 34,37.
  3. Es gibt keine eindeutigen Werte für x und y bei maximalem Flächeninhalt.