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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

3. Aufgabe 2001

gestellt am 12. Februar 2001 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Karnevalsprinz mit Sorgen

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Aufgabe

Der Kölner Karnevalsprinz hat ein Problem. Er möchte im Rosenmontagszug flächendeckend Bonbons unters närrische Volk bringen. Da er aber einen ausgeprägten Gerechtigkeitssinn hat, möchte er im Rosenmontagszug in jeder Straße entsprechend ihrer Länge faire Bonbonrationen werfen. In der kürzesten Straße möchte er 1 kg, in der längsten Straße 121 kg verteilen. Das macht es allerdings nötig, dass er in der Lage sein muss, mittels einer Waage alle Kilo-Gewichte von 1 kg bis zu 121 kg abzuwiegen. Da er aber aufgrund des ohnehin schon kostspieligen Karnevalstreibens nicht zu viel Geld ausgeben möchte, versucht er bei der Anschaffung der Gewichte Geld zu sparen.
Eine Gleichgewichtswaage, mit der er diese Massen wägen kann, besitzt er.

Die Frage ist dann:
Kann der Kölner Karnevalsprinz Bonbonmengen zwischen 1 kg und maximal 121 kg (jeweils auf einen Schlag) mit weniger als 7 Gewichten abwiegen?
Welche Gewichte benötigt er?

(eingesandt von Herbert Nell)

Lösung

Wenn man beliebige Gewichte von ganzzahligen kg mit einer Gleichgewichtswaage abwiegen können möchte, kommt man mit den wenigsten Einzelgewichten aus, wenn man als Maßzahlen hierfür Dreierpotenzen wählt. Mit den 5 Einzelgewichten 30 kg bis 34 kg lassen sich mit folgendem Algoritmus alle gewünschten Gewichte darstellen:

Es ist leicht einzusehen, dass dieses Verfahren endlich ist und bei Gewichten bis 121 kg (= (11111)3 kg) das Endgewicht nicht größer als dieses werden kann.

Dieses Formular mit JavaScript-Programm berechnet zu einem vorgegebenen Gewicht zwischen 1 kg und 121 kg die Gewichtsverteilungen nach diesem Algoritmus:


kg





Antwort

Der Karnevalsprinz kann mit den fünf Gewichten 1 kg, 3 kg, 9 kg, 27 kg und 81 kg alle Gewichte zwischen 1 kg und 121 kg abwiegen.