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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

4. Aufgabe 2001

gestellt am 26. Februar 2001 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Eva gegen Adam

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Aufgabe

Eva und Adam spielen gegeneinander um die Verteilung der Hausarbeit: Eine Münze wird so oft geworfen, bis entweder drei Köpfe oder Zahl, Kopf, Zahl in Serie geworfen werden.
Adam gewinnt im ersten, Eva im zweiten Fall.

Wie sind die Gewinnchancen von Eva und von Adam?
(Begründung erforderlich!)

(eingesandt von Roland Koppenberger)

Lösung

Wenn Eva und Adam eine ideale Münze benutzen, beträgt die Wahrscheinlichkeit für den Wurf von Kopf oder Zahl jeweils 1/2 und die Ergebnisse aller Würfe sind voneinander unabhängig.
Es seien E und A die (unvereinbaren) Ereignisse, die zum Sieg für Eva bzw. Adam führen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine in Dreiergruppen gegliederte Serie von 3*n Würfen keine der beiden Gruppen (Kopf, Kopf, Kopf) oder (Zahl, Kopf, Zahl) enthält, beträgt (1-2/8)n, was mit wachsendem n gegen 0 konvergiert. Dass die zum Abbruch führenden Dreierfolgen auch an den übrigen Stellen nicht auftreten, ist noch unwahrscheinlicher.
Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Serie abbricht, gilt also:
(1) p(E) + p(A) = 1

Bis auf das Ereignis A1, dass zu Beginn (Kopf, Kopf, Kopf) geworfen wird, lässt sich jedes für Adam günstige Ereignis auf ein für Eva günstiges Ereignis abbilden. Hierzu wird die Endfolge (Kopf, Kopf, Kopf), der eine Zahl vorangeht, weil sonst das Abbruchkriterium früher erfüllt wäre, durch (Kopf, Zahl) ersetzt. Durch die umgekehrte Ersetzung von (Kopf, Zahl) durch (Kopf, Kopf, Kopf) kann jedes für Eva günstige Ereignis auf ein für Adam günstiges Ereignis abgebildet werden.
Weil die Gewinnserien von Eva jeweils um einen Wurf kürzer sind als die entsprechenden Gewinnserien von Adam, ist die Wahrscheinlichkeit für ihr Auftreten jeweils doppelt so groß. Dieses Verhältnis überträgt sich auf die Gesamtwahrscheinlichkeiten der hier betrachteten Ereignisse durch Addieren der Einzelwahrscheinlichkeiten:
(2) p(E) = (p(A)-p(A1))*2 mit
(3) p(A1) = 1/8

Durch Lösen des Gleichungssystems ergibt sich:
(4) p(E) = 7/12 und p(A) = 5/12.

Antwort

Die Gewinnchancen von Eva und Adam betragen 7/12 (≈ 41,7%) bzw. 5/12 (≈ 58,3%).