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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

6. Aufgabe 2001

gestellt am 26. März 2001 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Die Ballpyramide

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Aufgabe

Zur Eröffnung eines Sportgeschäftes wurde in einem Schaufenster eine Pyramide aus Tischtennisbällen aufgebaut.
4 gleich lange Leisten grenzen eine Fläche von genau einem Quadratmeter ein, um den Bällen den notwendigen Halt zu geben. Diese Fläche ist vollständig mit Tischtennisbällen ausgefüllt. Auch die weiteren Bälle liegen in Schichten quadratischer Form übereinander, wobei jeder Ball durch die 4 unter ihm liegenden Bälle seinen festen Platz erhält.
a) Wie viele Tischtennisbälle (Alle besitzen den Durchmesser von 4 cm.) wurden zum Bau dieser Pyramide benötigt und
b) welche Höhe hat die Pyramide?

(Lösungsweg erforderlich)

(eingesandt von Maxi R.)

Lösung

Es sei d = 4cm der Durchmesser eines Tischtennisballs.

a) Die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche der Größe 1m2 beträgt s = 1m.
An einer Kante liegen damit n = s/d = 1m/4cm = 25 Tischtennisbälle nebeneinander und auf der Grundfläche n2 = 252 Bälle. Die darüber liegenden Schichten enthalten dann 242, 232 usw. Bälle, bis zu 12 = 1 Ball an der Spitze.
Die Gesamtanzahl der Bälle in der Pyramide ist also
(1) ∑(k2; k=1..n) = n3/3+n2/2+n/6 = 5525

b) Der Mittelpunkt eines Balls an einer der unteren Ecken der Pyramide liegt einen halben Durchmesser über der Auflagefläche. Der Mittelpunkt des Balls an der Spitze liegt einen halben Durchmesser unter dem obersten Punkt der Pyramide.
Weil die Bälle auf den äußeren Kanten alle dicht nebeneinander auf einer geraden Linie liegen, beträgt der Abstand zwischen diesen Mittelpunkten 24 Balldurchmesser. Diese Strecke stellt den Raumdurchmesser eines Quaders dar, bei dem die Seitenlängen der quadratischen Grundfläche 12 Balldurchmesser misst. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras lässt sich die Höhe h dieses Quaders ermitteln:
(2) h = √((24d)2-(12d)2-(12d)2) = 12d*√(4-1-1) = 12√2d
Die Gesamtöhe der Pyramide beträgt also
(3) d/2+h+d/2 = (1+12√2)*d ≈ 71,9cm

Antwort

Für den Bau der Pyramide wurden 5525 Tischtennisbälle benötigt und die Pyramide ist ungefähr 71,9cm hoch.