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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

7. Aufgabe 2001

gestellt am 9. April 2001 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Ostereier

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Vater Osterhase ist stinksauer.
Da hat sein Sohn nicht nur alle 39 Eier rot angemalt, (so dass sie sich gleichen wie ein Ei dem anderen,) nein, er hat auch noch das Geschenkei für Frau Osterhase mit zu den anderen Eiern gelegt. Und natürlich sieht es genau so aus wie die anderen, es ist nur etwas leichter als jedes der anderen 38 Eier (, die alle genau das gleiche Gewicht haben).
Oder war es doch etwas schwerer? Vater Osterhase ist total verwirrt und weiß es nicht mehr.

Zur Strafe stellt er seinem Sohn eine Balkenwaage hin und erklärt, dass Sohnemann Ostern vergessen kann, wenn er nicht mit genau 4 Wägungen heraus findet, welches Ei für Mama Osterhase bestimmt ist und ob es leichter oder schwerer als die anderen ist.

Häschen ist den Tränen nah und hat nur noch eine Hoffnung, die pfiffigen Knobler vom "Mathe-Spass".

Seine Frage also:
Wie kann er mit 4 Wägungen heraus finden, welches von 39 identisch aussehenden Eiern ein anderes Gewicht hat als die anderen und ob es leichter oder schwerer ist als diese?
(Lösungsweg erforderlich)

(eingesandt von Willy)

Lösung

Um die Eier unterscheidbar zu machen, sollen ihnen verschiedene natürliche Zahlen zugeordnet werden. Geschickterweise wählt man diese zwischen 0 und 80, womit sie eine höchstens vierstellige Darstellung im Zahlensystem zur Basis 3 haben, wobei sie noch mit Nullen auf vier Stellen ergänzt werden können. So ist es möglich, an den Stellenwerten im Dreiersystem zu entscheiden, wie die vier Wägungen vorzunehmen sind.
Die erste Wägung richtet sich nach den Ziffern jeweils an der ersten (höchstwertigen) Stelle, die zweite Wägung nach den Ziffern an der zweiten Stelle usw. Ist die jeweilige Ziffer einer Zahl eine 0 bzw. 1 bzw. 2, wird das zugehörige Ei auf die linke bzw. keine bzw. rechte Waagschale gelegt.

Aus den Ergebnissen wird das Ei mit dem abweichenden Gewicht dann so ermittelt, dass den Ausschlägen entsprechende Ziffern zu einer Zahl zusammen gesetzt werden. Falls diese Zahl keinem Ei zugeordnet wurde, wird statt dessen das Komplement gebildet. Im ersten Fall ist das Ei mit der ermittelten Nummer schwerer, im zweiten Fall leichter als alle anderen.
Damit man darauf schließen kann, welches Ei ein abweichendes Gewicht besitzt und in welche Richtung diese Abweichung geht, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein. Die drei Ziffern 0,1 und 2 müssen insgesamt an allen vier Stellen des Dreiersystems gleich häufig auftreten, damit bei den Wägungen immer gleich viele Eier auf beiden Seiten liegen. Wenn es ein Ei mit der Nummer n gibt, darf es kein Ei mit der Nummer 80-n (Zweirekomplement im Dreiersystem) geben, damit aus den Wägeergebnissen immer eindeutig auf die Richtung der Gewichtabweichung geschlossen werden kann.

Diese Liste zeigt eine Möglichkeit, 39 Zahlen geeignet zu vergeben:

2 0002
4 0011
6 0020
8 0022
10 0101
12 0110
14 0112
16 0121
18 0200
20 0202
22 0211
24 0220
26 0222
28 1001
30 1010
31 1011
32 1012
34 1021
36 1100
38 1102
39 1110
43 1121
45 1200
47 1202
51 1220
53 1222
55 2001
57 2010
59 2012
61 2021
63 2100
65 2102
67 2111
69 2120
71 2122
73 2201
75 2210
77 2212
79 2221

Dieses Formular nennt die Belegungen der Waagschalen. Ein Skript bestimmt zu den ermittelten Ausschlägen der Waage das Ei mit dem abweichenden Gewicht.

WägungAusschlag der Balkenwaage
linksausgeglichenrechts
1
2
3
4
Das Ei mit der Nummer ist leichter.