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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

8. Aufgabe 2001

gestellt am 30. April 2001 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Naschen

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Ein begeisterter Schachspieler sitzt vor einer Packung Toffifee und versucht nun diese Schachtel leer zu essen. Kann es ihm gelingen, alle Karamellen zu vernaschen, wenn er sich zur Bedingung macht, die Packung gleich einem Springer beim Schach nach und nach zu leeren?

Es gibt handelsüblich 2 verschiedene Packungsgrößen: 4 * 5 (20 Stück) und 3 * 5 (15 Stück).

In welcher Reihenfolge muss er die Toffifee aus der Packung heraus essen, um diese vollständig zu entleeren? Bzw. zeige, dass es unmöglich ist, beide Packungen unter den genannten Vorbedingungen leer zu essen.

Zusatzfrage:
Welches wäre die kleinstmögliche rechteckige Verpackungsform, die ein vollständiges Leeren der Schachtel ermöglicht, welches die kleinstmögliche quadratische?
(Lösungsweg erforderlich)

(eingesandt von Herbert Nell)

Lösung

Falls der Schachspieler eine der größeren Packungen (4 * 5) vor sich hat, kann er diese in der Reihenfolge der hier eingetragenen Zahlen 1 bis 20 leer essen:

1185149
61510194
11217813
16712320

Im anderen Fall (3 * 5) ist es nicht möglich, die Schachtel mit der genannten Methode zu leeren. Um dies zu zeigen, kann man versuchen, einen (graphenheoretischen) Weg durch alle Felder eines Rechtecks zu finden, die den Karamellen in der Schachtel zugeordnet sind, wobei aber nur Wegstücke zugelassen sind, die mit einem Springer zurückgelegt werden können.
Es wird angenommen, es gäbe einen solchen Weg durch alle 15 Felder. Die Zahlen in diesem Rechteck geben die Anzahl der jeweils erreichbaren Felder an, welche dem Grad im vollständigen Graphen entspricht:

23432
22422
23432

Läge keiner der beiden gelben Felder vom Grad 2 am Rand des Weges, dann wären sie jeweils mit den beiden gelben Feldern vom Grad 4 verbunden. Weil dann alle vier gelben Felder einen geschlossenen Kreis bilden würden, welcher aber nicht Bestandteil des angenommenen Weges ist, liegt eines von ihnen am Rand des Weges.
Von jedem der grünen Felder, welches nicht am Rand des Weges liegt, gehen zwei Wegstücke aus und eines von ihnen zum roten Feld in der Mitte. Weil dieses höchstens zwei Nachbarn hat, liegen zwei der grünen Felder am Rand des Weges.
Insgesamt hätte der Weg also mindestens drei Felder mit nur einem Nachbarn, was einen Widerspruch bedeutet.

Antwort auf die Zusatzfrage:

Das kleinstmögliche Rechteck mit einer Lösung hat die Kantenlängen 3 * 4:

14710
12925
36118

Das kleinstmögliche Quadrat mit einer Lösung hat die Kantenlänge 5 * 5:

1149203
241921510
13825421
182361116
71217225