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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

1. Aufgabe 2002

gestellt am 21. Januar 2002 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Kasimir und die Pyramide

  Aufgabe   Lösung   Antwort 

Aufgabe

Kasimir an der Pyramide Krabbelkäfer Kasimir stand an der Ecke am Fuße einer quadratischen Pyramide, deren acht Kanten alle mit 162 cm gleich lang waren.
In seinem Drang, die Welt von oben zu betrachten, versuchte Kasimir direkt auf der Kante hoch zu krabbeln, aber das schaffte sein kleines Herz nicht. Er purzelte holterdipolter wieder nach unten. Und so versuchte er es schräg nach oben über die Seitenflächen, immer im gleichen Winkel. Und das gelang, zwar nur mit 10 Zentimeter pro Minute, aber nachdem er die erste Seitenfläche überquert hatte, war er auf der Kante vom zweiten unteren Eckpunkt der Pyramide bereits 54 cm entfernt. So krabbelte er munter weiter und irgendwann stand er oberhalb der Ecke, an der sein Marsch begonnen hatte. Wie freute er sich!

  1. Wie weit war er jetzt von seinem Startpunkt entfernt?
  2. Wie lang hat sein Marsch bisher gedauert?

Aber noch war er nicht am Ziel und so krabbelte er in gleicher Weise weiter und erreichte schließlich die Spitze der Pyramide. Welch ein Blick!

  1. Wie lang war die gesamte Krabbelstrecke und wie lange hat sein Marsch nach oben gedauert?
  2. Aus welcher Höhe konnte er "die Welt" überblicken?

Es müssen alle 4 Teilaufgaben gelöst und ausreichend begründet werden.

(eingesandt von Rolf Herrmann)

Lösung

Es seien s = 162cm die Länge aller 8 Kanten der Pyramide und v = 10cm/s Kasimirs Geschwindigkeit. Sein Abstand nach Durchqueren von n Seiten vom darunter liegenden Eckpunkt sei an, sein bis dorthin zurück gelegter Weg dn. Dabei ist a1 = 54cm bekannt.

  1. Weil Kasimirs Steigungswinkel auf allen Seiten gleich ist, sind die Dreiecke zwischen seinen Wegabschnitten und der Spitze ähnlich. Die Folge seiner Abstände von der Spitze bei Erreichen der Pyramidenkanten bildet also eine geometrische Folge:
    (1) s0 = s, s1 = s-a1, sn = s*((s-a1)/s)n = s*(2/3)n
    Kasimir steht oberhalb der Startecke, wenn er vier Seiten überquert hat:
    (2) a4 = s-s4 = s*(1-(2/3)4) = s*65/81 = 130cm
  2. Nach dem Satz des Pythagoras beträgt Kasimir Wegstrecke bis zum Erreichen der ersten Kante
    (3) d1 = √(s2-(s/2)2+(s/6)2) = √7/3*s
    Mit der ähnlichkeit der oben genannten Dreiecke lässt sich begründen, dass die Folge der Quotienten dn/an konstant ist. Als zurück gelegter Weg nach einer Runde ergibt sich also:
    (4) d4 = a4/a1*d1 = 65/27*√7/3*s ≈ 344cm
    Für die dazu benötigte Zeit erhält man:
    (5) t4 = d4/v ≈ 344cm/(10cm/min) = 34,4min
  3. Kasimir ist am Ziel, wenn er die Spitze, also den Abstand s von den unteren Eckpunkten erreicht hat:
    (6) d = lim(dn; n→∞) = d1/a1*lim(an; n→∞) = d1/a1*s = (√7/3*s)/(s/3)*s = √7*s ≈ 429cm
    Dafür braucht er die Zeit
    (7) t = d/v ≈ 429cm/(10cm/min) = 42,9min
  4. Die Höhe der Pyramide lässt sich wieder mit dem Satz des Pythagoras ermitteln:
    (8) h = √(s2-s2/2) = 1/√2*s ≈ 115cm

Antwort

  1. Kasimir war oberhalb seines Startpunktes 344 cm davon entfernt.
  2. Sein Marsch hat bis dahin 34:24 Minuten gedauert.
  3. Die gesamte Krabbelstrecke ist 429 cm lang und sein Marsch nach oben hat 42:52 Minuten gedauert.
  4. Er konnte "die Welt" aus 115 cm Höhe überblicken.

Am Ziel wird Kasimir Erholung vom Drehwurm nötig haben, denn theoretisch hat er die Pyramide unendlich oft umrundet.