Vorherige Aufgabe   Übersicht 2002   Nächste Aufgabe 

Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

10. Aufgabe 2002

gestellt am 10. Juni 2002 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Tour de France
(weil ich keine Fußballaufgabe finden konnte ;-))

  Aufgabe   Lösung   Antwort 

Aufgabe

1. Woche:
Und wieder einmal startet die Tour de France auf ihre dreiwöchige strapaziöse Tour durch Frankreich. Unter den vielen Radrennfahrern fährt erstmals auch Pedro Pedalo mit.
Der Prolog lief überraschend gut für ihn, und er fuhr ins mittlere Drittel des Feldes, nicht aber auf einen zweistelligen Platz. Am zweiten Tag fuhr er recht verhalten und verschlechterte sich konsequenterweise um 20 Plätze, blieb aber im mittleren Drittel, obwohl 14 Fahrer ihre Weiterfahrt absagten. Am dritten Tag lief es dann besser, er konnte 12 Plätze wiedergutmachen und landete im mittleren Fünftes des Feldes; (weitere 3 Fahrer hatten an diesem Tag übrigens die Tour aufgegeben). Am Ende der ersten Woche verbesserte sich Pedro im Einzelzeitfahren noch einmal um 5 Ränge, und war so bereits im mittleren Siebtel des Klassements.

Die 2. Woche:
Die zweite Rennwoche verlief dann erfolgreicher, allerdings auch höchst kurios.
Pedro Pedalo unternahm mit einer neunköpfigen Gruppe einen Ausreißversuch, der deshalb gelang, da es zu einem spektakulären Massensturz kam, in den das halbe Feld verwickelt war. Das Pech der einen, war die Gunst der Stunde für die anderen. Besonders Pedro Pedalo konnte von seinen Sprintqualitäten Gebrauch machen und diese 11. Etappe gewinnen. 27 Fahrer mussten sturzbedingt ihre Träume aufgeben, in Paris die Champs-Elysées zu erreichen; sie schieden verletzt aus. Pedro halbierte an diesem Tag seine (geradzahlige) Platzierung vom Ende der Vorwoche, und lag im mittleren Drittel des gesamten Starterfeldes. Einen Tag später wurde der Verursacher des Sturzes disqualifiziert. An Pedros Platzierung änderte sich nichts.

Die 3. Woche:
Das sollte zu Beginn der dritten Woche anders werden. Als ein Team alle seine neun Rennfahrer zurückzog, von denen 2/3 zu diesem Zeitpunkt in der Tourwertung hinter Pedro lagen und er sich einen Tag später bei der schweren Bergankunft in L'Alpe d'Huez drei Plätze im Gesamtklassement nach vorne schieben konnte, lag er erstmals im vorderen Drittel des Klassements. Das blieb auch so, als sieben hinter Pedro platzierte Rennfahrer einer nach dem anderen entkräftet aufgaben.
Hätte er jetzt noch das Kunststück fertig gebracht, sich bis zur Endankunft in Paris noch um 12 Plätze zu verbessern, wäre er sogar im ersten Viertel des Feldes gelandet. Als er aber einen Tag später hörte, dass weitere 4 (hinter ihm liegende) Fahrer wegen unerlaubtem Windschattenfahrens die vorzeitige Heimreise antreten durften, wurde ihm klar, dass eine Verbesserung um 12 Plätze auch nicht gereicht hätte.
Dennoch besaß er noch genug sportlichen Ehrgeiz um seinem Namen alle Ehre zu machen.
In den letzten drei Tagen strampelte sich Pedro Pedalo nochmals um 4 Plätze nach vorne!

Frage 1: Wie viele Teilnehmer gingen an den Start?
Frage 2: Wie viele Fahrer konnten das Rennen beenden?
Frage 3: Welchen Platz belegte Pedro nach dem Prolog?
Frage 4: Welchen Platz belegte Pedro Pedalo im Gesamtklassement?

Es müssen alle 4 Teilaufgaben korrekt beantwortet werden und ein Lösungsweg muss erkennbar sein.

(eingesandt von Herbert Nell)

Lösung

Es sollen nk und pk die Anzahl der Teilnehmer und Pedros Platzierung nach k Renntagen bezeichnen. Dann sind n1, n21, p1 und p21 gesucht.

Aus dem Verlaufsbericht ergeben sich folgende Gleichungen und Ungleichungen:

  1. Woche:
    1. Tag: max(99,n1/3) < p1 ≤ n1*2/3
    2. Tag: n2 = n1-14, p2 = p1+20, n2/3 < p2 ≤ n2*2/3
    3. Tag: n3 = n2-3, p3 = p2-12, n3*2/5 < p3 ≤ n3*3/5
    7. Tag: n7 = n3, p7 = p3-5, n7*3/7 < p7 ≤ n7*4/7
  2. Woche:
    11. Tag: n11 = n7-27, p11 = p7/2, n11/3 < p11 ≤ n11*2/3
    12. Tag: n12 = n11-1, p12 = p11
  3. Woche:
    15. Tag: n15 = n12-9, p15 = p12-3
    16. Tag: n16 = n15, p16 = p15-3, p16 ≤ n16/3
    17. Tag: n17 = n16-7, p17 = p16, p17 ≤ n17/3, p17-12 ≤ n17/4
    18. Tag: n18 = n17-4, p18 = p17, n18/4 < p18-12
    21. Tag: n21 = n18, p21 = p18-4

Untersucht man alle möglichen mindestens dreistelligen Anzahlen von Startteilnehmern und betrachtet man jeweils die Intervallfolge aller möglichen Platzierungen Pedros nach den Renntagen, so findet man, dass die Intervalle kleiner werden und nur bei der Anfangszahl von 199 Teilnehmern nach 21 Renntagen noch Elemente enthalten sind, nämlich als einziges die Platzierung 42, während die Teilnehmerzahl am Ende 134 beträgt.

Betrachtet man dagegen alle möglichen mindestens dreistelligen Platzierungen Pedros und beobachtet man jeweils die Folge von passenden Intervallen möglicher Teilnehmerzahlen am Start, so erkennt man, dass auch hierbei die Intervalle kleiner werden und nur bei der Anfangsplatzierung 101 noch Elemente übrig bleiben, nämlich als einziges wieder 134 Teilnehmer, während sich als Endplatzierung wieder 42 ergibt.

Dies ist die Liste der Teilnehmerzahlen und Pedros Platzierungen nach allen relevanten Renntagen:

Tagnp
1.199101
2.185121
3.182109
7.182104
11.15552
12.15452
15.14549
16.14546
17.13846
18.13446
21.13442

Antwort

  1. Es gingen 199 Teilnehmer an den Start.
  2. 134 Fahrer konnten das Rennen beenden.
  3. Nach dem Prolog belegte Pedro Platz 101.
  4. Im Gesamtklassement belegte Pedro Platz 42.