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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

11. Aufgabe 2002

gestellt am 1. Juli 2002 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Sommer-Mix I

  Aufgaben   Lösungen 

Aufgaben

Aufgabe 1: 3 Schachteln

Drei gleichgroße Schachteln unterscheiden sich nur durch deren Deckel.
Die Schachtel mit dem grünen Deckel enthält 10 grüne Kugeln, die mit dem roten Deckel 10 rote Kugeln und in der 3. Schachtel sind 5 rote und 5 grüne; der Deckel der Schachtel ist logischerweise rot/grün kariert.
Ein Witzbold hat nun die Schachteldeckel so vertauscht, dass kein Deckel mehr auf der entsprechenden Schachtel ist.
Wie viele Kugeln müssen mindestens gezogen werden, um die Deckel den richtigen Schachteln zuordnen zu können?
Hineingucken ist selbstverständlich verboten!

(eingesandt von Herbert Nell)

Aufgabe 2: Streichhölzer stapeln

Eine unbekannte Zahl an Streichhölzern liegt in drei Stapeln A, B, C verteilt. Nun werden aus Stapel A so viele Streichhölzer entnommen wie in Stapel B sind und diesem hinzugefügt. Mit Stapel B wird nach gleichem System verfahren, und Stapel C erhält Streichhölzer von Stapel B. Der Kreis schließt sich, als Stapel A entsprechend seiner Größe von Stapel C Streichhölzer erhält.
Jetzt wird die Kette umgekehrt und Stapel C erhält von A, Stapel B erhält von C und Stapel A erhält von B jeweils entsprechend seiner aktuellen Größe Hölzchen. Jetzt sind alle Stapel gleich groß.
Wie viele Streichhölzer sind mindestens im Spiel, und wie war die Minimalverteilung zu Beginn der Tauschaktion.

(eingesandt von Herbert Nell)

Aufgabe 3: Ziffern

Man ordne die neun Ziffern von 1 bis 9 in einer Reihe, so dass jedes Paar benachbarter Ziffern eine Zahl ergibt, die sich in zwei einstellige Faktoren zerlegen lässt.
Die Anordnung 123456789 etwa ergibt keine Lösung, denn nur die drei Paare 12 (= 3 * 4), 45 (= 5 * 9) und 56 (= 7 * 8) haben die gewünschte Eigenschaft (, aber z.B. die 23 nicht).
Man benötigt übrigens keinen Computer für die - eindeutige! - Lösung.

(eingesandt von Franjo Schulte)

Aufgabe 4: Neue Sprache

Wir erfinden eine Sprache mit unendlich vielen Wörtern. Ihre Wörter werden aus drei verschiedenen Buchstaben gebildet: A, B und C.

Am Anfang gibt es nur das Wort AB. Alle weiteren Wörter werden nach den folgenden vier Regeln gebildet, die nach Belieben angewendet werden können.

Regel 1: Steht am Ende eines Wortes der Buchstabe B, so kann ein C angehängt werden.
Beispiel: Aus ABB wird ABBC.
Regel 2: Hat ein Wort die Form Ax, wobei x für alle Buchstaben steht, die auf A folgen, so kann Axx gebildet werden.
Beispiel: Aus ABBCB wird ABBCBBBCB.
Regel 3: Enthält ein Wort die Buchstabenfolge BBB, so kann sie durch C ersetzt werden.
Beispiel: Aus ABCBBBC wird ABCCC.
Regel 4: Enthält ein Wort die Buchstabenfolge CC, so kann sie ersatzlos gestrichen werden.
Beispiel: Aus ABCCBB wird ABBB.

Frage: Lässt sich in dieser so definierten Sprache das Wort AC bilden?

Wenn ja, so soll der Weg dorthin angegeben werden, wenn nein, so soll gezeigt werden, warum es nicht geht.

(eingesandt von Johann Moll)

Aufgabe 5: Springerdynastie

Wie viele Springer sind notwendig, alle 64 Felder des Schachbrettes (ausgenommen die, auf denen Springer stehen) zu beherrschen und wie sind die Springer zu platzieren?

(eingesandt von Helmut Brodhuhn)

Aufgabe 6: Wechselgeld

Stell Dir einmal vor, wir schreiben das Jahr 1975 und Du bist Kassierer bei einer Bank.
Plötzlich steht ein Kunde vor Dir, legt Dir einen Hundert-DM-Schein hin und meint lapidar 'Wechseln Sie mir den bitte in Zehn-Pfennig-Stücke, Eine-Mark-Stücke und Fünf-Mark-Stücke. Ich erwarte genau 100 Stücke im Gesamtwert von DM 100,-- und natürlich von jeder der genannten drei Münzarten wenigstens 1 Stück!
Wenn Sie den Fall innerhalb von 5 Minuten lösen, gehört das Geld Ihnen!'

Der Fall soll sich vor ca. 25 Jahren in meiner Heimatstadt tatsächlich zugetragen haben. Man spricht von einem verrückten Amerikaner.
Der Bankangestellte musste kapitulieren! Du auch?

Nun muss man sich ja fragen, wollte der Amerikaner den Kassierer nur foppen oder gibt es tatsächlich eine Lösung oder gar mehrere Lösungen?
Finde es heraus; natürlich nicht unbedingt in 5 Minuten!

(eingesandt von Helmut Brodhuhn)

Aufgabe 7: Urlaub in Spanien

1. Auf einem Parkplatz stehen 5 verschiedene Autos.
2. Jedes Auto gehört einer Person mit einer anderen Haarfarbe.
3. Jeder Autobesitzer bevorzugt einen bestimmten Fußballverein, hat ein Hobby und fährt in den Urlaub in ein fernes Land.
4. KEINE der 5 Personen hat den gleichen Lieblingsverein, das gleiche Hobby oder fährt in das gleiche Urlaubsland.
Frage: Wer fährt nach Spanien in den Urlaub?

Folgende Hinweise stehen zur Verfügung:
Der Rothaarige fährt einen Opel.
Der Blonde verbringt seinen Urlaub in Österreich.
Der Ergraute schwärmt für Hannover 96.
Das VW steht links vom BMW.
Der VW-Fahrer ist Fan von Borussia Dortmund.
Die Person, die in der Freizeit gerne angelt, fährt nach Dänemark in den Urlaub.
Der Mann, dem das mittlere Auto gehört, fiebert für Bayern München.
Der Besitzer des Fords geht gerne Tanzen.
Dem Braunhaarigen gehört das erste Auto.
Das Auto vom Hobbygärtner parkt neben dem, der immer seinen Urlaub in Frankreich verbringt.
Der Italienurlauber parkt neben dem Hobbytänzer.
Der Briefmarkensammler hat eine Dauerkarte von Arminia Bielefeld.
Der mit den braunen Haaren parkt neben dem Mercedes.
Der Schwarzhaarige bastelt gern in seiner Freizeit.
Der Hobbygärtner hat sein Auto neben das Auto vom Schalke-Fan abgestellt.

(eingesandt von Sven Redecker)

Aufgabe 8: Felderwirtschaft

Ein Bauer hat drei Söhne und ein dreieckiges Feld (genauer gesagt ein Feld in Form eines gleichseitigen Dreiecks).

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Als es ans Erben ging beauftragte er einen Landvermesser, jedem der Söhne kongruente Teilstücke zuzuweisen; nach drei Tagen konnte er eine von vielen möglichen Lösungen präsentieren:
Vom Mittelpunkt des Feldes werden Senkrechten zu den drei Schenkeln gezogen.

Ein Bauer hat vier Söhne und ein ehemals quadratisches Feld, dem ein Viertel fehlt.
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Als es ans Erben ging beauftragte er einen Landvermesser, jedem der Söhne kongruente Teilstücke zuzuweisen; nach vier Tagen konnte er die Lösung präsentieren:
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Ein Bauer hat fünf Söhne und ein quadratisches Feld, dem kein Viertel fehlt.
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Der Landvermesser ist verzweifelt, als er am 5. Tag noch immer keine Lösung gefunden hat.

Kann ihm geholfen werden?

(eingesandt von Peter Heidemüller)

Aufgabe 9: Erbsenzähler

Auf einem Fest soll erraten werden wie viele Erbsen in einem Glas sind!

Zwölf Leute möchten ihre wahrsagerischen Fähigkeiten unter Beweis stellen.

Der Erste sagt: Es sind 36 162 Erbsen, aber auf jeden Fall ist die Summe durch 2 teilbar.
Der Zweite sagt: Es sind 30 759 Erbsen, aber auf jeden Fall ist die Summe durch 3 teilbar.
Der Dritte sagt: Es sind 19 160 Erbsen, aber auf jeden Fall ist die Summe durch 4 teilbar.
Der Vierte sagt: Es sind 53 235 Erbsen, aber auf jeden Fall ist die Summe durch 5 teilbar.
Der Fünfte sagt: Es sind 32 266 Erbsen, aber auf jeden Fall ist die Summe durch 6 teilbar.
Der Sechste sagt: Es sind 10 724 Erbsen, aber auf jeden Fall ist die Summe durch 7 teilbar.
Der Siebte sagt: Es sind 8 162 Erbsen, aber auf jeden Fall ist die Summe durch 8 teilbar.
Der Achte sagt: Es sind 36 162 Erbsen, aber auf jeden Fall ist die Summe durch 9 teilbar.
Der Neunte sagt: Es sind 58 620 Erbsen, aber auf jeden Fall ist die Summe durch 10 teilbar.
Der Zehnte sagt: Es sind 46 871 Erbsen, aber auf jeden Fall ist die Summe durch 11 teilbar.
Der Elfte sagt: Es sind 14 916 Erbsen, aber auf jeden Fall ist die Summe durch 12 teilbar.
Der Zwölfte sagt: Es sind 20 722 Erbsen, aber auf jeden Fall ist die Summe durch 13 teilbar.

Niemand der 12 "Wahrsager" hatte mit beiden Behauptungen Recht.
Zwei von Ihnen lagen sogar mit beiden Aussagen falsch.
Diese hatten im Übrigen ihre Aussage unmittelbar hintereinander getroffen.
Die Anzahl der Erbsen wurde außerdem mehrfach überschätzt.

Wie viele Erbsen sind in dem Glas?
Welche beiden hatten zweimal daneben gelegen?
Und welcher Wahrsager lag am dichtesten dran?

(eingesandt von Herbert Nell)

Aufgabe 10: Zahlenreihe

Gegeben sind folgende Zahlen
Zahlenreihe: 6 ; 2 ; 5 ; 5 ; 4 ; 5 ; 6 ; 4 ; ? ; .......
Welche Zahl muss an Stelle des Fragezeichen stehen, um die Reihe sinnvoll fortzusetzen?
(Ein kleiner Tipp: Ein Taschenrechner hilft, der PC eher nicht.)

(eingesandt von Rosi Roth)

Lösungen

Aufgabe 1: 3 Schachteln

Von den sechs möglichen Permutationen dreier Deckel auf drei Schachteln haben nur die beiden Rotationen die Eigenschaft, dass alle Deckel ihre Positionen ändern.
In der Schachtel unter dem karierten Deckel befinden sich 10 Kugeln einer Farbe. Es reicht, eine von diesen zu ziehen, um zu wissen, welcher einfarbige Deckel von einer anderen Schachtel zu dieser Schachtel passt. Der karierte Deckel gehört dann zu der dritten Schachtel und der Deckel von dieser zu der zweiten Schachtel.

Aufgabe 2: Streichhölzer stapeln

Ausgehend von drei gleich großen Stapeln der Größe 1 kann man die Verlegungen zurück verfolgen. Die so gefundenen Anfangswerte 93/64, 49/64 und 25/32 besitzen den kleinsten gemeinsamen Nenner 64.
Durch Multiplikation mit diesem Faktor erhält man 192 Streichhölzer, von denen 93 auf Stapel A, 49 auf Stapel B und 50 auf Stapel C liegen.

Aufgabe 3: Ziffern

Die Ziffernfolge 7 2 8 1 6 3 5 4 9 erfüllt die gewünschte Bedingung:
72 = 8*9
28 = 4*7
81 = 9*9
16 = 2*8 = 4*4
63 = 7*9
35 = 5*7
54 = 6*9
49 = 7*7

Aufgabe 4: Neue Sprache

Das Anfangswort AB besteht aus einer Anzahl des Buchstabens B, die nicht durch 3 teilbar ist. Besitzt ein Wort diese Eigenschaft, so bleibt sie nach beliebiger Anwendung der vier zulässigen Regeln erhalten.
Weil die Anzahl des Buchstabens B im Wort AC aber ein Vielfaches von 3 ist, kann dieses Wort nicht mit den gegebenen Regeln gebildet werden.

Aufgabe 5: Springerdynastie

Mit 12 Springern, z.B. auf den Feldern c2, c3, d3, f3, g3, f4, c5, b6, c6, e6, f6, f7, können alle freien Felder bedroht werden:

 8   -   -   -   -   -   -   -   - 
 7   -   -   -   -   -   +   -   - 
 6   -   +   +   -   +   +   -   - 
 5   -   -   +   -   -   -   -   - 
 4   -   -   -   -   -   +   -   - 
 3   -   -   +   +   -   +   +   - 
 2   -   -   +   -   -   -   -   - 
 1   -   -   -   -   -   -   -   - 
    a   b   c   d   e   f   g   h 

Aufgabe 6: Wechselgeld

Es seien x, y und z die gesuchten Anzahlen von Münzen der Werte 10 Pfennig, 1 DM bzw. 5 DM.
Dann ist eine Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems aus natürlichen Zahlen zu finden:
(1) x+y+z = 100
(2) 0,1DM*x+1DM*y+5DM*z = 100DM
Daraus folgt
(3) 40z = 9x
womit x durch 40 und z durch 9 teilbar sind.
Hiefür gibt es die Lösungen
(4) (x, y, z) = (40, 51, 9) und
(5) (x, y, z) = (80, 2, 18)

Aufgabe 7: Urlaub in Spanien

Aus den 15 Aussagen ergibt sich als einzige mögliche Kombination von Eigenschaften die unten dargestellte.

PlatzAutoHaarfarbeVereinHobbyUrlaub
1FordBraunSchalke 04TanzenFrankreich
2MercedesGrauHannover 96GartenItalien
3OpelRotBayern MünchenAngelnDänemark
4VWSchwarzBorussia DortmundBastelnSpanien
5BMWBlondArminia BielefeldBriefmarkenÖsterreich

Nach Spanien in den Urlaub fährt der schwarzhaarige Fahrer des am vierten Platz stehenden VW, der Fan von Borussia Dormund ist und in seiner Freizeit gern bastelt.

Aufgabe 8: Felderwirtschaft

Der Bauer kann sein Feld in 5 parallele rechteckige Streifen teilen und jedem seiner 5 Söhne einen von diesen vererben.

Aufgabe 9: Erbsenzähler

Im Glas befinden sich 25740 Erbsen.
Der sechste und der siebte der 12 Leute haben keine wahre Aussage gemacht.
Am dichtesten dran lag der Zwölfte mit einer Abweichung von 5018 Erbsen nach unter. Dicht darauf folgt der Zweite mit einer Abweichung von 5019 Erbsen nach oben.

Aufgabe 10: Zahlenreihe

0123456789 Die Zahlen der Folge geben die Anzahlen der aktiven Segmente einer 7-Segmentanzeige der Ziffern ab 0 an.
Es folgen also die beiden Zahlen 7 und 6 für die Segmentanzahlen bei 8 bzw. 9.