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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

12. Aufgabe 2002

gestellt am 1. August 2002 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Sommer-Mix II

  Aufgaben   Lösungen 

Aufgaben

Aufgabe 1: Köche und Fische

Stellt der Koch auf jeden Tisch
eine Portion leckeren Fisch,
so fehlt einer Portion Fisch
ein Tisch.
Stellt der Koch auf jeden Tisch
zwei Portionen Fisch,
so bleibt ein Tisch ohne Fisch
Wie viele Tische?
Wie viele Fische?

(eingesandt von Sarah Hippold)

Aufgabe 2: Dreiecke im Rechteck

Rechteck Gegeben ist ein Rechteck, dessen Fläche in 4 voneinander verschiedene Dreiecke unterteilt ist (siehe Abb.).
Von 3 Dreiecken ist der Flächeninhalt bekannt.

Lässt sich der Flächeninhalt des 4. Dreieckes bestimmen?
Wenn ja, wie groß ist der Flächeninhalt?

(eingesandt von Herbert Nell)

Aufgabe 3: Ziffern einsetzen

In dieser Multiplikationsaufgabe wurden erst einmal alle Ziffern durch Sternchen ersetzt.
Natürlich lässt sich dann aber nichts mehr über die Aufgabe aussagen. Deshalb wurde eine Ziffer ausgewählt und an allen Stellen, an denen sie steht, das Sternchen durch ein X ersetzt.

  * X X * mal * * *
  -----------------
      X * * * X
        * * * * X
          * * X * *
  -----------------
      * * * * * * *

Setze den Bedingungen entsprechend Ziffern ein, so dass eine korrekte Multiplikationsaufgabe entsteht.

(eingesandt von Harald N)

Aufgabe 4: 4 Freunde

4 Freunde stellen fest, dass ihre Häuser so stehen, dass jedes Haus von jedem der 3 anderen Häuser den gleichen Abstand hat.
(Wie) ist das möglich?

(eingesandt von Eva)

Aufgabe 5: Gehbehindertes Schachproblem

Nachdem im Mai ermittelt wurde, wie viele Möglichkeiten ein gehbehinderter Turm hat, um die Diagonale eines sonst leeren Schachbrettes auf kürzestem Weg zu durchschreiten, stellt sich die Frage:

Wie viele Möglichkeiten hat ein König?
Wie viele Möglichkeiten hat eine "gehbehinderte" Dame?
Wie viele Möglichkeiten hat ein "gehbehinderter" Läufer (, wobei "gehbehinderter" Läufer ein Widerspruch in sich ist).
Wie viele Möglichkeiten hat ein Springer?
Wie viele Möglichkeiten hat ein Bauer?

(eingesandt von Herbert Nell)

Aufgabe 6: Segeltuch

Segel Ein dreieckiges Segel wurde aus 6 gleich breiten Stoffbahnen zusammen genäht. Die Seitenlängen des Segels sind 8m, 9m bzw. 7m.

Wie lang sind die Nähte, die zum Zusammennähen der unterschiedlich langen Stoffbahnen gemacht werden mussten?

(eingesandt von Herbert Nell)

Aufgabe 7: Bohnenspiel

Gegeben seien zwei Tassen, die n1 und n2 Bohnen enthalten. Zwei Spieler machen abwechselnd einen Zug, indem sie eine der Tasse leeren und die Bohnen der anderen Tasse wieder auf die beiden Tassen verteilen, so dass mindestens eine Bohne in jeder Tasse ist. Der Spieler, der den letzten Zug macht, gewinnt.

Angenommen, 27 Bohnen sind ein einer Tasse, in der anderen 24.
Kann der 1. Spieler dann gewinnen?
Wie sieht die Gewinnstrategie für dieses Spiel aus?

(eingesandt von Burkart)

Aufgabe 8: Felderwirtschaft

Ein Bauer hat vier Söhne und ein quadratisches Feld (genauer gesagt ein Feld in Form eines Quadrats, dem 1/4 in Form einer dreieckigen Fläche fehlt, siehe Abb.).

Feld Als es ans Erben ging, beauftragte er einen Landvermesser, jedem der Söhne kongruente Teilstücke zuzuweisen.

Der Landvermesser ist verzweifelt.

Kann ihm geholfen werden?

(eingesandt von Gunny)

Aufgabe 9: Division

In dieser Divisionsaufgabe sind alle ungeraden Ziffern durch den Buchstaben U und alle geraden Ziffern durch den Buchstaben G ersetzt.

Die Aufgabe sieht so aus:

  G G U U G : U U G = U U G
  G U G 
  -----
    U U U
    U G G 
    -----
      G U G
      G U G
      -----

Setze den Bedingungen entsprechend Ziffern ein, so dass eine korrekte Divisionsaufgabe entsteht.

(eingesandt von Harald N)

Aufgabe 10: Zahlenreihe

Da die Zahlenreihe in Aufgabe 10 der Juli-Aufgaben vielen nicht mathematisch genug war, hier nun eine mathematische Aufgabe:

Wie heißt die nächste Zahl?

6 0 2 4 0 3 0 0 5

(eingesandt von Leo H)

Lösungen

Aufgabe 1: Köche und Fische

Es seien f und t die Anzahlen der Fische bzw. der Tische. Dann lässt sich aus den Aussagen ein lineares Gleichungssystem aufstellen:
(1) f-1 = t
(2) t-1 = f/2
Nach Auflösen erhält man
(3) f = 4, t = 3
Es handelt sich also um 4 Fische und 3 Tische.

Aufgabe 2: Dreiecke im Rechteck

Teilt man das Rechteck zusätzlich durch die beiden Parallelen zu den Seiten, die durch den gemeinsamen Punkt aller farbigen Dreiecke geht, erkennt man, dass die gelbe und die blaue Fläche zusammen die halbe Fläche des Rechtecks ausfüllen, genau so wie die rote und die grüne Fläche zusammen.
Der Flächeninhalt der roten Fläche F ergibt sich also durch die bekannten Inhalte der übrigen Flächen:
(1) F = 12+14-17 = 9

Aufgabe 3: Ziffern einsetzen

  8 6 6 2 mal 8 3 4
  -----------------
      6 9 2 9 6
        2 5 9 8 6
          3 4 6 4 8
  -----------------
      7 2 2 4 1 0 8

Aufgabe 4: 4 Freunde

Die Häuser stehen an den Ecken eines maximalen Tetraeders, der in der Erde enthalten ist.
(Ob es solche Punkte auf der Erde gibt, weiß ich aber nicht.)

Aufgabe 5: Gehbehindertes Schachproblem

Ein König, eine "gehbehinderte" Dame und ein Läufer haben jeweils eine Möglichkeit, die Diagonale eines sonst leeren Schachbretts zu durchschreiten, nämlich in Einzelschritten durch die Diagonale.
Wenn ein Springer von einer Ecke in die gegenüber liegende Ecke springen will, hat er mindestens 14 direkte Feldwechsel zu überwinden, während er bei jedem Sprung 3 solcher Elementarschritte ausführt. Weil er bei jedem Sprung die Feldfarbe wechselt, das Anfangs- und das Endfeld aber die selbe Farbe haben, braucht er eine gerade Anzahl von Sprüngen, also mindestens 6 Sprünge. Durch Ausprobieren kann man heraus finden, dass der Springer 108 verschiedene Möglichkeiten hat, in 6 Schritten zum Ziel zu kommen.
Ein Bauer kann die Diagonale gar nicht durchschreiten, weil er nur geradeaus ziehen kann.

Aufgabe 6: Segeltuch

Die Längen der Nähte können nach dem zweiten Strahlensatz berechnet werden. Sie hängen nur von der Länge der dazu parallelen Seite und nicht von den übrigen ab. Die einzelnen Nähe sind 1/6*8m, 2/6*8m, 3/6*8m, 4/6*8m und 5/6*8m lang, insgesamt 15/6*8m = 20m.

Aufgabe 7: Bohnenspiel

Der erste Spieler kann gewinnen, indem er bei jedem Spielzug den Inhalt einer Tasse mit gerader Anzahl von Bohnen in zwei ungerade Anzahlen aufteilt.
Der Gegner ist dann gezwungen, eine ungerade Anzahl in eine ungerade und gerade aufzuteilen.
Weil mit jedem Spielzug Bohnen aus dem Spiel ausscheiden, endet das Spiel, wenn in beiden Tassen jeweils eine Bohne liegt.
Bei anfänglich 27 und 24 Bohnen gibt es eine Tasse mit gerader Anzahl von Bohnen und der erste Spieler kann den Sieg erzwingen.

Aufgabe 8: Felderwirtschaft

Feld Der Landvermesser kann die Feldfläche in 12 kongruente Teile zerlegen und jedem der vier Söhne drei Teile zuweisen.
(Es war nicht verlangt, dass jeder nur ein Teil bekommen soll.)

Aufgabe 9: Division

  8 4 9 1 2 : 1 1 6 = 7 3 2
  8 1 2 
  -----
    3 7 1
    3 4 8 
    -----
      2 3 2
      2 3 2
      -----

Aufgabe 10: Zahlenreihe

Die Teilfolge (a3k)n∈N ist die Folge der Primzahlen, die Teilfolge (a3k-1)n∈N besteht aus 0 und in die restlichen Folgenglieder werden gebildet durch a3k-2 = 10-a3k*2.
Die nächsten Folgenglieder sind demnach -4, 0, 7.