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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

14. Aufgabe 2002

gestellt am 16. September 2002 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Umbauprogramm

  Aufgabe   Lösung   Antwort 

Aufgabe

1. Teil:

Bei einem quadratischen Schwimmbecken stehen an allen vier Ecken je ein Baum. Doch die Badefläche ist der FDP zu klein, sie möchten expandieren, so soll die Wasserfläche um 1/3 vergrößert werden. Die Grünen legen aber Wert darauf, dass die Bäume stehen bleiben, und die SPD möchte aus Gründen der Optik die quadratische Form erhalten, und die CDU besteht aus Kostengründen darauf, die vorhandene Wasserfläche zu integrieren.

Wie kommt es zu einem parteiübergreifenden Konsens, und an welcher Stelle der neu entstandenen Wasserfläche stehen die Bäume?

2. Teil:

Nachdem die Umbaumaßnahmen erfolgreich abgeschlossen sind, reiben sich zwar die Parteien die Hände, haben aber (wieder mal) die Rechnung ohne die Bürger gemacht. Diese nämlich wollen sich mit der Lösung aus ästhetischen Gründen nicht zufrieden geben, und strengen daher einen Volksentscheid an. Die optische Komponente soll verbessert werden, außerdem meint man, die Wasserfläche könne schließlich um weitere 50% größer sein. Natürlich ist das Geschrei bei den Parteien groß, hatte man doch ebenfalls berechtigte Gründe für die eigenen Vorgaben (siehe Aufgabe Teil 1) vorgebracht.

Aber die Macht geht nun mal vom Volke aus (wenigstens theoretisch).
So geht man hin und vergrößert das Schwimmbad erneut, diesmal um weitere 50%, lässt die Bäume stehen, behält sogar die quadratische Form bei; nur die CDU muss leider von ihrer Maximalforderung, die vorhandene Wasserfläche vollständig zu integrieren, abrücken.

Wie viel Prozent der Wasserfläche nach dem 1. Umbau konnte nicht wie von der CDU gefordert in die endgültige Form integriert werden.

(eingesandt von Herbert Nell)

Lösung

1. Teil:

Weil es bei der Frage in der Aufgabenstellung um Flächenverhältnisse geht, kann die Kantenlänge des Quadrats, das das ursprüngliche Schwimmbecken beschreibt, als F0 = 1 angenommen werden.
Wenn man an allen Seiten kongruente rechtwinklige Dreiecke mit der Hypotenuse von außen anlegt, erhält man eine Gesamtfläche F, die wieder ein Quadrat ist und einen größeren Flächeninhalt besitzt, welcher bis zum Doppelten der Ursprungsfläche betragen kann.
Die Ecken des kleineren Quadrats liegen auf den Seiten des größeren, was für die Bäume bedeutet, dass sie am Rand des vergrößerten Schwimmbeckens stehen.
Für die Längen der Katheten a und b der rechtwinkligen Dreiecke gilt:
(1) a2+b2 = 1
(2) (a+b)2 = F
Hieraus folgt:
(3) b = √F-a und
(4) a2+(√F-a)2 = 1
Die quadratische Gleichung
(5) a2-√F*a+(F-1)/2 = 0
hat die Lösungen
(6) a1 = √F - √(1/2-F/4) und
    a2 = √F + √(1/2-F/4)
Für F1 = 4/3 betragen die Kathetenlängen a1 ≈ 0,169 und a2 ≈ 0,986.

2. Teil:

Überschneiden sich zwei verschiedene solcher größeren Quadrate, dann wird von jedem angefügten Dreieck des einen Quadrats ein rechtwinkliges Teildreieck nicht von dem anderen Quadrat überdeckt.
Die rechtwinkligen Dreiecke der beiden vergrößerten Quadrate mit den Flächen F1 = 4/3 und F2 = 4/3*1,5 = 2 besitzen die Innenwinkel arcsin(a1), pi/2 und arccos(a1) bzw. pi/4, pi/2 und pi/4.
Die Fläche F' eines Restdreiecks kann dann so errechnet werden:
(7) F' = a12*tan(arccos(a1)-pi/4)/2 ≈ 0,0101
Insgesamt beträgt der Anteil der Fläche des kleineren der Quadrats, die nicht im größeren Quadrat liegt:
(8) 4*F'/F1 ≈ 0,0303 = 3,03%

Antwort

1. Teil: Das neue Schwimmbecken umfasst das bisherige Schwimmbecken so, dass die Bäume an den Rändern stehen.

2. Teil: Ungefähr 3% der Wasserfläche konnte nicht in die endgültige Form integriert werden.