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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

15. Aufgabe 2002

gestellt am 30. September 2002 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Schwämme

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Zum Aufwärmen:

Wir erzeugen einen Flächenschwamm aus einem Quadrat mit der Kante 1 LE. Man kann das Quadrat in neun gleich große Quadrate zerlegen und das mittlere Quadrat entfernen. Es bleiben acht Quadrate.
Mit jedem dieser Quadrate machen wir dasselbe, und dies immer wieder.
Lochmuster1

  1. Wie viel Schwammfläche bleibt übrig nach zehnmal Mittelquadrat(e) entfernen?
  2. Wie viel Schwammfläche bliebe übrig, wenn wir gar nicht mehr aufhörten, Mittelquadrat(e) zu entfernen?
  3. Wie lang ist der jeweilige Rand der durchlöcherten Fläche?
Jetzt wird's ernst:

Wir erzeugen einen Raumschwamm aus einem Würfel mit der Kante 1 LE. Man kann den Würfel in 27 gleich große Würfel zerlegen und jetzt von vorn nach hinten, von rechts nach links und von oben nach unten die jeweils mittleren Würfel im Innern entfernen. Der Restkörper kann man sich aus 20 kleineren Würfeln zusammen gesetzt denken.
Mit jedem dieser 20 Würfel machen wir dasselbe, und dies immer wieder.
LockmusterSchwamm

  1. Wie viel Schwamm-Raum bleibt übrig nach zehnmal Würfel entfernen?
  2. Welche Oberfläche (auch im Inneren) hat der Schwammwürfel?
  3. Wie viel Schwamm-Raum bliebe übrig, wenn wir mit dem Löcher-Puhlen gar nicht mehr aufhören würden?

(eingesandt von Rolf Herrmann)

Lösung

Es seien (Fn)n∈N0 und (Un)n∈N0 die Folgen der Flächeninhalte bzw. der Randlängen nach n Verkleinerungsvorgängen.

  1. Das Ausgangsquadrat hat eine Fläche von
    (1.1) F0 = 12 = 1
    Bei einer Verkleinerung schrumpfen die Flächeninhalte aller Teilquadrate durch Entfernen der mittleren Quadrate auf jeweils p = 8/9, und somit auch die Gesamtfläche:
    (1.2) Fn = p*Fn-1
    In nicht rekursive Form gebracht lautet die allgemeine Formel für die Fläche nach n Schritten
    (1.3) Fn = F0*Π(p; k=1..n) = pn
    Nach 10 Schritten beträgt der Inhalt der verbliebenen Fläche
    (1.4) F10 = (8/9)10 ≈ 0,308
  2. Die Folge (Fn) ist monoton fallend und nach unten durch 0 beschränkt, besitzt also einen Grenzwert:
    (2.1) lim(Fn; n→∞) = lim(pn; n→∞) = 0
    Die Flächen werden also nach genügend vielen Schritten beliebig klein.
  3. Der Rand der Fläche vergrößert sich ausgehend vom Umfang des Einheitsquadrats bei jedem Schritt um den gemeinsamen Umfang der hinzu kommenden Löcher. Für den aufsummierten Umfang erhält man die Reihe
    (3.1) Un = 4+∑(8k-1*4/3k; k=1..n) = 4/5*(8/3)n+16/5
    Der Umfang nach 10 Schritten ist
    (3.2) U10 = 4/5*(8/3)10+16/5 ≈ 14550
    Weil die Reihe divergiert werden die Ränder nach ausreichend vielen Schritten beliebig groß.

Siehe auch Sierpinski Carpet -- from MathWorld

Es seien (Vn)n∈N0 und (An)n∈N0 die Folgen der Volumina bzw. der Oberflächen nach n Verkleinerungsvorgängen.

  1. Der Ausgangswürfel hat ein Volumen von
    (4.1) V0 = 13 = 1
    Bei einer Verkleinerung schrumpfen die Volumina aller Teilwürfel durch Entfernen der 7 inneren Würfel auf jeweils q = 20/27, und somit auch das Gesamtvolumen:
    (4.2) Vn = q*Vn-1
    Die nicht rekursive Formel dazu lautet
    (4.3) Vn = V0*Π(q; k=1..n) = qn
    Nach 10 Schritten beträgt das Volumen des verbliebenen Körpers
    (4.4) V10 = (20/27)10 ≈ 0,0497
  2. Ausgehend von der Oberfläche des Einheitswürfels wird die bestehende Oberfläche des Körpers bei jedem Schritt durch das Entstehen neuer Löcher auf p = 8/9 verringert und um die jeweils 24 kleineren Innenseiten in jedem Teilwürfel vergrößert:
    (5.1) A0 = 6*12 = 6
    (5.2) An = p*An-1+20n-1*24/9n
    Dies lässt sich in eine geschlossene Form bringen:
    (5.3) An = pn*A0+∑(pn-k*24/20*(20/9)k; k=1..n)
             = pn*(A0+6/5*∑((5/2)k; k=1..n))
             = pn*(A0+3*((5/2)n-1)/(5/2-1))
             = pn*(A0+2*((5/2)n-1))
             = (8/9)n*(4+2*(5/2)n)
             = (4*8n+2*20n)/9n
    Nach 10 Schritten besitzt der Körper eine Oberfläche von
    (5.4) A10 = (4*810+2*2010)/910 ≈ 5875
  3. Die Folge (Vn) ist monoton fallend und nach unten durch 0 beschränkt, besitzt also einen Grenzwert:
    (6.1) lim(Vn; n→∞) = lim(qn; n→∞) = 0
    Die Volumina werden also nach genügend vielen Schritten beliebig klein.

Siehe auch Menger Sponge -- from MathWorld