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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

16. Aufgabe 2002

gestellt am 14. Oktober 2002 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Fairness

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Aufgabe

"Lass uns auswürfeln, wer den Schampus bezahlen muss", schlug Gerhard vor.
"In Ordnung", sagte Joscha. "Hier sind zwei gewöhnliche Würfel und ein Becher. Ich würfele jetzt so lange, bis die Würfel eine 6 oder 7 als Summe ergeben. Bei einer 7 zahlst du, bei 6 ich."
"Blödsinn. Glaubst du etwa, ich kann nicht rechnen? Die Chance, dass du dann gewinnst und ich bezahlen muss, ist doch viel größer!"
"So viel größer nun auch wieder nicht, aber - na gut. Dann nehmen wir eben 7 und 8. Bei einer 7 zahlst du, würfele ich aber zuerst eine 8, zahle ich."
"Vergiss es! Ich falle nicht darauf herein. Es ist doch genau wie mit 7 und 6."
"Dann machen wir's eben interessanter. Der eine bezahlt, wenn zuerst ZWEIMAL die Summe 7 erschienen ist, der andere, wenn sowohl die 6 als auch die 8 gewürfelt wird, je nachdem, was zuerst passiert. Und damit du nicht wieder gleich losmeckerst, werde ich bezahlen, wenn zuerst die zweite 7 gewürfelt wird. Oder ist es dir anders herum etwa lieber?"
"Hmm. Ich habe zwar kein gutes Gefühl dabei, aber - in Ordnung. Wirf!"
Und Joscha warf. Zuerst eine 3, dann eine 7, dann eine 10, dann eine 8 - jetzt wurde es spannend - und dann erschien - noch eine 7!
"Ha! Du musst zahlen, mein Lieber. Da hast du dich wohl verrechnet!" triumphierte Gerhard.
Und Joscha zahlte - grummelnd: "Von wegen verrechnet! Pech war's, einfach nur Pech ..."
Wie groß genau aber war die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Joscha dieses Spiel verlor?

(eingesandt von Franjo Schulte)

Lösung

Für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, wer den Schampus bezahlen muss, sind alle Würfe, bei denen die Summe der Augenzahlen nicht 6, 7 oder 8 ergibt, uninteressant.
Die Wahrscheinlichkeiten für das Werfen von 6, 7 bzw. 8 sind
(1) p6 = 5/36   (1 und 5, 2 und 4, 3 und 3, 4 und 2 oder 5 und 1)
(2) p7 = 6/36   (1 und 6, 2 und 5, 3 und 4, 4 und 3, 5 und 2 oder 6 und 1)
(3) p8 = 5/36   (2 und 6, 3 und 5, 4 und 4, 5 und 3 oder 6 und 2)
Falls eine dieser Augenzahlen geworfen wird, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich um 7 handelt,
(4) q7 = p7|6;7;8 = (6/36)/(5/36+6/36+5/36) = 3/8
und die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis
(5) q6;8 = p6;8|6;7;8 = (5/36+5/36)/(5/36+6/36+5/36) = 5/8.
Die möglichen Wurffolgen, die zur Entscheidung führen, können in einem Entscheidungsbaum dargestellt werden. Dabei verliert Joscha, wenn zum zweiten Mal eine 7 geworfen wird bevor zwei Mal 6 oder 8 erschienen sind (rot markiert), und Gerhard im umgekehrten Fall (grün markiert).

1. Wurf
Wahrscheinlichkeit
7
3/8
6 oder 8
5/8
2. Wurf
Wahrscheinlichkeit
7
3/8*3/8
= 9/64
6 oder 8
3/8*5/8
= 15/64
7
5/8*3/8
= 15/64
6 oder 8
5/8*5/8
= 25/64
3. Wurf
Wahrscheinlichkeit

7
15/64*3/8
= 45/512
6 oder 8
15/64*5/8
= 75/512
7
15/64*3/8
= 45/512
6 oder 8
15/64*5/8
= 75/512

Die Gesamtwahrscheinlichkeiten ergeben sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten. Joscha verliert mit einer Wahrscheinlichkeit von
(6) q7*(q7+q6;8*q7)+q6;8*q7*q7 = 3/8*(3/8+5/8*3/8)+5/8*3/8*3/8 = 81/256
Gerhard verliert mit einer Wahrscheinlichkeit von
(7) q7*q6;8*q6;8+q6;8*(q7*q6;8+q6;8) = 3/8*5/8*5/8+5/8*(3/8*5/8+5/8) = 175/256
Eine Probe zeigt, dass die Summe beider Zahlen 1 ist.

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Joscha das Spiel verlor, war 81/256 (≈ 31,6%). Er hatte also tatsächlich Pech, dass er den Schampus zahlen musste.