Vorherige Aufgabe   Übersicht 2002   Nächste Aufgabe 

Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

18. Aufgabe 2002

gestellt am 11. November 2002 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Krabbelkäfer Kasimir und das Käferkarussell

  Aufgabe   Lösung   Antwort 

Aufgabe

In Käfertal war Jahrmarkt und Krabbelkäfer Kasimir war natürlich auch dabei. Ihn interessierte besonders das Karussell, bei dem in einem Zehn-Zentimeter-Quadrat ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenkante von 5 cm im Uhrzeigersinn über die Ecken "abrollte".

Er krabbelte hinein und sein Platz war, wie in der Skizze zu sehen, auf einem Drittel der Dreieckshöhe. Die beiden anderen Sitze waren unbesetzt. Und los ging's, immer im Uhrzeigersinn rund um die Quadratseiten. Die Karussellrunde endete, wenn der Anfangszustand wieder erreicht war.

Welche Wegstrecke legt eine Ecke des Dreiecks während einer Karussellrunde zurück?
Welche Strecke hat Kasimir dabei zurückgelegt?

(in Gedenken an Rolf Herrmann)

Lösung

Die Bewegung des Dreiecks und damit die aller seiner Punkte setzt sich aus Kreisbewegungen um 8 Punkte auf dem Rand des Quadrats zusammen. Weil diese Anzahl teilerfremd zu der Anzahl der Dreiecksseiten ist, umrundet das Dreieck den Quadratmittelpunkt drei Mal bis es erstmals seinen Ausgangszustand erreicht.

In der nebenstehenden Abbildung sind die Kurven skizziert, auf denen sich der Mittelpunkt und eine Ecke des Dreiecks sowie Kasimir bewegen. Hierbei sind die Kurven der ersten Umrundung durchgehend und die der weiteren beiden Umrundungen gepunktet gezeichnet.

Es sei r die Seitenlänge des Dreiecks (= 5cm).
Den Zerlegungen der Kurven in Kreisabschnitte kann man Folgen von Winkeln n) und Radien (rn) zuordnen, wobei die Radien die Abstände der betrachteten Punkte von den Ecken des Dreiecks sind.

(1) αn =  / 2π/3  (= 120°)  falls n ≡ 1 (mod 2)
 \ π/6  (= 30°)  falls n ≡ 2 (mod 2)



Mittelpunkt  | Ecke  | Kasimir
(2) rn =  /  1/√3*r  | 0  | 1/(2√3)*r  falls n ≡ 1 (mod 3)
⟨   1/√3*r  | r  | √(7/12)*r  falls n ≡ 2 (mod 3)
 \  1/√3*r  | r  | √(7/12)*r  falls n ≡ 3 (mod 3)

Die Kurvenlängen sind dann:

(3) ∑(αk*rk; k=1..24)
  = ∑(αk; k=1..8)*∑(rk; k=1..3)
  = 4*(2π/3+π/6)*(r1+r2+r3)

  = 10/3*π*  / √3*r  ≈ 90,7cm  bei Mittelpunkt
⟨  2*r  ≈ 104,7cm  bei Ecke
 \ (1/2+√7)/√3*r  ≈ 95,1cm  bei Kasimir

Antwort

Eine Ecke des Dreiecks legt während einer Karussellrunde eine Strecke von 104,7 cm zurück.
Kasimir hat dabei eine Strecke von 95,1 cm zurück gelegt.