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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

19. Aufgabe 2002

gestellt am 25. November 2002 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Der ASW-Test

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Aufgabe

"So, Sie haben also angeblich telepathische Kräfte, wie? Können Sie sich überhaupt vorstellen, wie viele Menschen das von sich glauben? Können Sie nicht. Aber ich werde Ihnen sagen, wie das in unserem Institut läuft. Denn Zeit ist Geld."
Nach dieser einschüchternden Vorrede des Versuchsleiters konnte der Kandidat nur stumm nicken.
"Sie kennen die fünf ASW-Symbole?"
"Natürlich. Ein Kreuz, ein Quadrat, ein Dreieck, ein Kreis und ein Wellenmuster."
"Schön. Der Computer vor mir erzeugt zufällig jeweils eines dieser Symbole. Ich konzentriere mich darauf, und Sie sollen mir dann das Symbol nennen. Soweit klar?"
"Sicher. Ich habe so einen Test schon einmal gemacht."
"Was Sie nicht sagen! Und wie hoch war Ihre Erfolgsquote dabei?"
"Das weiß ich leider nicht mehr genau, aber ich habe auf alle Fälle mehr als die Hälfte aller Symbole richtig erkannt."
"So, so. Mehr als die Hälfte, wie? Passen Sie auf. Sie bekommen von uns pro richtig erkanntem Symbol fünf Euro ausbezahlt, in bar. Aber: für jeden Fehler müssen Sie bezahlen! Und zwar kostet Sie der erste Fehler 1 Euro, der zweite 2 Euro, der dritte 3 und so weiter. Wenn Sie versagen, kann Sie das also teuer zu stehen kommen. Hier ist Ihr Vertrag. Unterschreiben Sie, wenn Sie das riskieren wollen."
Der Kandidat studierte sorgfältig den Vertrag. "Hier steht aber nicht, wie viele Durchgänge der Test hat. Wie viele Symbole wird der Computer denn produzieren?"
Der Versuchsleiter sagte ihm die Zahl, und der Kandidat unterschrieb.
Und obwohl er schließlich exakt zwei Drittel der Symbole korrekt erraten konnte, ging er doch leer aus, aber wenigstens musste er auch nichts bezahlen.
Wie viele Durchgänge hatte der Test?

(eingesandt von Franjo)

Lösung

Gesucht ist die Anzahl n der Durchgänge, nach der die finanzielle Bilanz für den Kandidaten ausgegleichen ist. Dabei erhält dieser mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 2/3, also in p*n Fällen, den Betrag 5 €. In den übrigen (1-p)*n Fällen dagegen bezahlt er einen jedesmal um 1 € steigenden Betrag:
(1) p*n*5€-∑(k; k=1..(1-p)*n)€ = 0

Durch Weglassen der Währung und Ersetzen der Summe durch die Dreiecksformel ergibt sich
(2) p*n*5-(1-p)*n*((1-p)*n+1)/2 = 0

Nach Division der Gleichung durch n(>0) erhält man eine lineare Gleichung, die nach n aufgelöst werden kann:
(3) n = (10p/(1-p)-1)/(1-p) = 10/(1-p)2-11/(1-p) = 57

Bei 57 Durchgängen erhält der Kandidat in 57*2/3 = 38 Fällen jeweils 5 €, während er in den übrigen 57*1/3 = 19 Fällen insgesamt 1+2+3+....+19 € bezahlt, was jeweils 190 € beträgt.

Antwort

Der Test hatte 57 Durchgänge.