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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

2. Aufgabe 2002

gestellt am 4. Februar 2002 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Goldschatz

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Ein Abenteurer findet einen Goldschatz, bestehend aus 10 Säcken, prall gefüllt mit Goldmünzen. Jede Goldmünze wiegt 10 g. Ein oder mehrere Säcke sind aber mit Imitationen gefüllt, wobei eine "falsche" Münze 9,9 g wiegt. Die echten Münzen sind von den falschen äußerlich nicht zu unterscheiden.
Wie kann man unter einmaliger Verwendung einer digitalen Waage herausfinden, welche Säcke komplett mit echten und welche mit falschen Münzen gefüllt sind?
(Beachte: Ein Sack enthält entweder nur Goldmünzen oder nur Imitationen.)

Die Lösung muss ausreichend begründet werden.

(eingesandt von Chris aus Marling)

Lösung

Mit folgendem Verfahren lässt sich bestimmen, in welchen der Säcke sich Falschmünzen befinden.

Zur Identifizierung gibt man den einzelnen Säcken die Nummern 1 bis n = 10. Aus dem ersten Sack entnimmt man 1 Münze, aus dem zweiten 2 Münzen, aus dem dritten 4 Münzen und allgemein aus dem Sack mit der Nummer k 2k-1 Münzen.
Insgesamt sind dies
(1) m = ∑(2k-1; k=1..n) = 2n-1 = 1023 Münzen

Jede echte Münze wiegt e = 10,0 g, jede falsche Münze f = 9,9 g. Wären alle Münzen echt, müsste die Dezimalwaage m*e anzeigen. Wird allerdings ein Gewicht von d < m*e gemessen, lässt sich daraus errechnen, wie viele falsche Münzen auf der Waage liegen. Es sei a die Anzahl der falschen Münzen, dann ist das Gesamtgewicht
(2) d = a*f + (m-a)*e
und für die Anzahl der falschen Münzen ergibt sich
(3) a = (m*e-d)/(e-f) = (10230g-d)/0,1g

Weil sich jede natürliche Zahl auf genau eine Weise als Summe von Zweierpotenzen darstellen lässt, kann man an der Dualdarstellung von a erkennen, aus welchen Säcken die falschen Münzen stammen. Steht an k-ten Stelle von hinten eine 0 bzw. eine 1, enthält der Sack mit der Nummer k echte bzw. falsche Münzen.
Zeigt die Waage zum Beispiel d = 10201,0 g an, dann ist a = 290 = (100100010)2. Die Säcke mit den falschen Münzen sind also die mit den Nummern 2, 6 und 9.