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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

20. Aufgabe 2002

gestellt am 9. Dezember 2002 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Weihnachtszeit
Zusatzaufgabe zum Jahreswechsel

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Weihnachtszeit

weihnachtsbaum Unser Weihnachtsbaum wurde festlich geschmückt mit roten, gelben, orangenen und blauen Kugeln und silbernen Girlanden.
Längs jeder der 11 Girlanden hängen 4 bzw. 3 Kugeln verschiedener Farbe.

Bei drei der Kugeln ist die Farbe angegeben. Die Farben der übrigen 13 Kugeln gilt es zu bestimmen!

(eingesandt von Rolf Herrmann)

Zusatzaufgabe zum Jahreswechsel

Bestimme die Zehntausender-Ziffer von 22002 + 22003 sowie die Anzahl der Ziffern dieser Zahl!

(eingesandt von Rolf Herrmann)

Lösung

Weihnachtszeit

weihnachtsbaum Wenn man annimmt, dass die Girlanden so hängen, wie es die Zeichnung in der Aufgabe suggeriert, also vier von ihnen horizontal, vier vertikal, zwei diagonal und eine wie eine Parabel, dann gibt es genau eine zulässige Färbung der restlichen Kugeln, wie in der neben stehenden Zeichnung zu sehen ist.
Dabei kann man in der folgenden Reihenfolge auf die Farben schließen:

KugelnFarben
16blau
8gelb
5blau
1orange
9rot
6orange
7rot
11gelb
10blau
2gelb
3blau
14rot
15orange

Zusatzaufgabe zum Jahreswechsel

Zum Umrechnen der Zahl ins Dezimalsystem ist folgende Zahl hilfreich.
(1) q = log10(2) ≈ 0,301
Damit lässt sich die Summe so umformen, dass sie mit einem Taschenrechner überschlagen werden kann.
(2) n = 22002+22003
      = (10q)2002+(10q)2003
      = (10q*2002-600+10q*2003-600)*10600
      ≈ (102,66...+102,96...)*10600
      = 1377,...*10600
Die Zahl n besitzt also 604 Dezimalstellen.

Die viertletzte Dezimalstelle kann durch Modulo-Berechnungen bestimmen werden.
Wenn man die ganze Zahl kennt, kann man die Zahntausenderziffer 2 auch direkt ablesen:

13777568343291054290793998414132183808267812425064342405731712841909195136708443
76627991383579807523902135157566784955328136542753035666397711117627399983822469
55986974374736000826534977888053845714712388076183493737938556375666036736780431
24855962476508599586979487857073355552674797397944339706636439921761300269078135
02067228553817694968706811217318005148032600479509966264097586835375501135214599
80647918794475701752426135830084850591823819901849067320682510304665949340307606
44699209834865995669930645651070047121863401854370331846541069833094065915021052
26345609874113249815585445146218213788352512